Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat der übliche Algorithmus der dynamischen Programmierung für die längste gemeinsame Teilfolge zweier Zeichenketten der Längen m und n?

  1. AO(mn)
  2. BO(2m+n)
  3. CO(mn log n)
  4. DO(m + n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Schranke ist für log(n!) richtig?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(log n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n)
3.DatenstrukturenMittel

In einem binären Min-Heap, der in einem Array gespeichert ist (Index beginnt bei 0), liegen die Kinder des Knotens mit Index i bei:

  1. Ai + 1 und i + 2
  2. B2i + 1 und 2i + 2
  3. C2i und 2i + 1
  4. Di/2 und i/2 + 1
4.DatenstrukturenSchwer

Die Zeitkomplexität von decrease-key in einem binären Heap (bei bekannter Position des Elements) beträgt:

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K5? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K5
H =
6.GraphentheorieSchwer
19201417811125ABCDEF

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(mn)

Warum das die Antwort ist

Die Tabelle hat (m + 1)(n + 1) Zellen, und jede wird in O(1) aus ihren Nachbarn berechnet.

Antwort

A · O(mn)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Θ(n log n)

Warum das die Antwort ist

log(n!) ≤ n log n, und die größten n / 2 Faktoren ergeben log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); deshalb braucht vergleichsbasiertes Sortieren Ω(n log n).

Antwort

C · Θ(n log n)
3.Datenstrukturen

Antwort: B · 2i + 1 und 2i + 2

Warum das die Antwort ist

Bei 0-basierten Arrays liegt das linke Kind bei 2i + 1, das rechte Kind bei 2i + 2 und der Elternknoten bei ⌊(i − 1)/2⌋.

Antwort

B · 2i + 1 und 2i + 2
4.Datenstrukturen

Antwort: A · O(log n)

Warum das die Antwort ist

Nach dem Verringern des Schlüssels wandert das Element höchstens um die Höhe des Heaps nach oben (sift-up). Fibonacci-Heaps erreichen decrease-key in amortisiert O(1).

Antwort

A · O(log n)
5.Graphentheorie

Antwort: H = 12

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Antwort

H = 12
6.Graphentheorie

Antwort: W = 55

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

BE (5): nehmen
CE (8): nehmen
DE (11): nehmen
EF (12): nehmen
BC (14): überspringen, schließt einen Kreis
BD (17): überspringen, schließt einen Kreis
AB (19): nehmen

Gesamtgewicht

W = 5 + 8 + 11 + 12 + 19 = 55

Antwort

W = 55

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