Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Definition der Klasse NP ist richtig?

  1. AEntscheidungsprobleme, deren Ja-Antworten mithilfe eines Zertifikats in polynomieller Zeit überprüft werden können
  2. BProbleme, die nicht polynomiell sind
  3. CProbleme, die nicht in polynomieller Zeit gelöst werden können
  4. DProbleme, die kein Algorithmus lösen kann
3.DatenstrukturenMittel

Was kostet das Einfügen eines Elements in der Mitte eines Arrays mit n Elementen?

  1. AO(1), weil der Index bekannt ist
  2. BO(n), weil die nachfolgenden Elemente verschoben werden müssen
  3. CO(log n), wegen der binären Suche
  4. DO(n²), weil jedes Element n-mal verschoben wird
4.DatenstrukturenSchwer

Warum verwenden Datenbanken für Indizes oft B+-Bäume statt einfacher B-Bäume?

  1. AB+-Bäume müssen nicht balanciert sein
  2. BAlle Datensätze liegen in verketteten Blättern, was Bereichsscans effizient macht
  3. CB+-Bäume speichern Daten nur in der Wurzel
  4. DB+-Bäume verwenden binäre innere Knoten, was Festplattenzugriffe reduziert
5.GraphentheorieMittel
ABCDEEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele geschlossene Wege der Länge 2 beginnen und enden bei A? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(n)

Warum das die Antwort ist

Es gibt n Ebenen mit jeweils konstantem Aufwand, wie bei einer rekursiven Summe über ein Array.

Antwort

C · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Entscheidungsprobleme, deren Ja-Antworten mithilfe eines Zertifikats in polynomieller Zeit überprüft werden können

Warum das die Antwort ist

Bei einem NP-Problem lässt sich eine vorgeschlagene Lösung (Zertifikat) schnell prüfen, etwa ob eine gegebene Belegung eine boolesche Formel erfüllt.

Antwort

A · Entscheidungsprobleme, deren Ja-Antworten mithilfe eines Zertifikats in polynomieller Zeit überprüft werden können
3.Datenstrukturen

Antwort: B · O(n), weil die nachfolgenden Elemente verschoben werden müssen

Warum das die Antwort ist

Alle Elemente nach der Einfügestelle rücken um eine Position nach rechts, was Zeit proportional zu n kostet.

Antwort

B · O(n), weil die nachfolgenden Elemente verschoben werden müssen
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Alle Datensätze liegen in verketteten Blättern, was Bereichsscans effizient macht

Warum das die Antwort ist

In einem B+-Baum leiten innere Knoten nur die Suche, und die Blätter sind in Schlüsselreihenfolge verkettet; eine Bereichsabfrage findet also den ersten Schlüssel und läuft dann die Blätter entlang.

Antwort

B · Alle Datensätze liegen in verketteten Blättern, was Bereichsscans effizient macht
5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Ungerade Knoten

B, C, D, E → 4
keines von beiden

Antwort

keines von beiden
6.Graphentheorie

Antwort: N = 2

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 2

Antwort

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms