Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Wie viele Vergleiche braucht die binäre Suche im Worst Case ungefähr bei einem sortierten Array mit 1,000,000 Elementen?

  1. AEtwa 100
  2. BEtwa 20
  3. CEtwa 500,000
  4. DEtwa 1,000
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Wie erkennt der Bellman-Ford-Algorithmus einen vom Startknoten erreichbaren Kreis mit negativem Gewicht?

  1. AEr prüft, ob irgendeine Kante ein negatives Gewicht hat
  2. BEr zählt die Kreise mit einer Tiefensuche
  3. CEr führt den Dijkstra-Algorithmus zweimal aus und vergleicht die beiden Distanzergebnisse
  4. DNach V − 1 Runden prüft er, ob sich noch eine Kante relaxieren lässt
3.DatenstrukturenMittel

Eine In-Order-Traversierung eines binären Suchbaums besucht die Schlüssel in:

  1. AImmer absteigender Reihenfolge
  2. BEbenenweiser Reihenfolge (Level-Order)
  3. CEinfügereihenfolge
  4. DAufsteigend sortierter Reihenfolge
4.DatenstrukturenSchwer

Die Zeitkomplexität von decrease-key in einem binären Heap (bei bekannter Position des Elements) beträgt:

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
11335514381ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(E) des kürzesten Weges von A nach E im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: E
d(E) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Etwa 20

Warum das die Antwort ist

220 ≈ 1,048,576, also bleibt nach etwa 20 Halbierungen nur ein Element übrig.

Antwort

B · Etwa 20
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Nach V − 1 Runden prüft er, ob sich noch eine Kante relaxieren lässt

Warum das die Antwort ist

Alle echten kürzesten Distanzen sind nach V − 1 Runden gefunden; lässt sich eine Kante noch verbessern, muss ein negativer Kreis existieren.

Antwort

D · Nach V − 1 Runden prüft er, ob sich noch eine Kante relaxieren lässt
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Aufsteigend sortierter Reihenfolge

Warum das die Antwort ist

Wird erst der linke Teilbaum, dann der Knoten und dann der rechte Teilbaum besucht, werden die BST-Schlüssel sortiert ausgegeben.

Antwort

D · Aufsteigend sortierter Reihenfolge
4.Datenstrukturen

Antwort: A · O(log n)

Warum das die Antwort ist

Nach dem Verringern des Schlüssels wandert das Element höchstens um die Höhe des Heaps nach oben (sift-up). Fibonacci-Heaps erreichen decrease-key in amortisiert O(1).

Antwort

A · O(log n)
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Ungerade Knoten

D, E → 2
Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: d(E) = 10

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 1, C: 13
B (1): C: 4, D: 6, G: 9
C (4)
D (6): E: 11, F: 20
G (9): E: 10
E (10): F: 13
F (13)

Kürzester Weg

A → B → G → E
d(E) = 10

Antwort

d(E) = 10

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