Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Wie viele Münzen verwendet bei Münzen zu 1, 3 und 4 und einem Betrag von 6 die gierige Methode „größte Münze zuerst" im Vergleich zum Optimum?

  1. AGreedy braucht 3 Münzen; das Optimum ist 2
  2. BGreedy braucht 4 Münzen; das Optimum ist 3
  3. CGreedy braucht 2 Münzen; das Optimum ist 2
  4. DGreedy braucht 3 Münzen; das Optimum ist 3
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welches dieser Erfüllbarkeitsprobleme ist bekanntermaßen in polynomieller Zeit lösbar?

  1. ASchaltkreis-Erfüllbarkeit
  2. B2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat
  3. C3-SAT, bei dem jede Klausel genau drei Literale hat
  4. DAllgemeines SAT für Formeln in konjunktiver Normalform
3.DatenstrukturenMittel

Welche Datenstruktur verwendet die Tiefensuche (DFS) in der iterativen Variante?

  1. AEinen Heap
  2. BNur eine Hashtabelle
  3. CEinen Stack
  4. DEine Queue
4.DatenstrukturenSchwer

In einem Ringpuffer kann front == rear entweder leer oder voll bedeuten. Wie unterscheidet man das üblicherweise?

  1. ADie Puffergröße zu einer Zweierpotenz machen
  2. BDen Puffer immer leeren, wenn front gleich rear ist, sodass der Zustand leer ist
  3. CFront und rear in derselben Variablen speichern
  4. DEinen separaten Elementzähler führen oder immer einen Platz frei lassen
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFGEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
1108111241211ABCDEF

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 4 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Greedy braucht 3 Münzen; das Optimum ist 2

Warum das die Antwort ist

Greedy nimmt 4 + 1 + 1 = 3 Münzen, aber 3 + 3 braucht nur 2, also ist Greedy für dieses Münzsystem nicht optimal; dynamische Programmierung schon.

Antwort

A · Greedy braucht 3 Münzen; das Optimum ist 2
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · 2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat

Warum das die Antwort ist

2-SAT liegt in P (lineare Zeit über starke Zusammenhangskomponenten), während 3-SAT NP-vollständig ist.

Antwort

B · 2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Einen Stack

Warum das die Antwort ist

DFS geht so tief wie möglich und nutzt daher natürlicherweise einen Stack (oder den Aufrufstack der Rekursion); BFS verwendet eine Queue.

Antwort

C · Einen Stack
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Einen separaten Elementzähler führen oder immer einen Platz frei lassen

Warum das die Antwort ist

Mit einem Zähler bedeutet leer count = 0 und voll count = Kapazität; mit einem freien Platz ist voll als (rear + 1) mod n == front definiert.

Antwort

D · Einen separaten Elementzähler führen oder immer einen Platz frei lassen
5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 4, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Ungerade Knoten

A, E, F, G → 4
keines von beiden

Antwort

keines von beiden
6.Graphentheorie

Antwort: F

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 1, C: 10
2. B (1): C: 9, D: 12, E: 2
3. E (2): D: 6, F: 3
4. F (3)
5. D (6)
6. C (9)

Runde 4

F

Antwort

F

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