Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Eine Funktion führt eine Schleife mit n Iterationen und danach, getrennt davon, eine weitere Schleife mit n Iterationen aus. Welche Zeitkomplexität hat sie?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Aussage über die Klein-o-Notation ist richtig?

  1. An = o(n), da jede Funktion Klein-o von sich selbst ist
  2. B2n = o(n), weil 2n langsam wächst
  3. Cn² = o(n)
  4. Dn = o(n²), aber n ist nicht o(n)
3.DatenstrukturenMittel

Ein Knoten in einem binären Suchbaum hat einen rechten Teilbaum. Wo liegt sein In-Order-Nachfolger?

  1. AImmer bei seinem rechten Kind
  2. BAm linkesten Knoten seines rechten Teilbaums
  3. CImmer bei seinem Elternknoten
  4. DAm rechtesten Knoten seines linken Teilbaums
4.DatenstrukturenSchwer

Du musst aus einem Strom von n Zahlen die k kleinsten Werte mit O(k) Speicher behalten. Welcher Ansatz schafft das in O(n log k) Zeit?

  1. AEin Min-Heap mit allen n Werten, aus dem am Ende die k kleinsten entnommen werden
  2. BEin Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt
  3. CEine FIFO-Queue der letzten k Werte
  4. DEin sortiertes Array aller n Werte
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 19 Knoten und 28 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 19|E| = 28
k =
6.GraphentheorieSchwer
144127591019ABCDEF

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(n)

Warum das die Antwort ist

n + n = 2n, und konstante Faktoren fallen weg, also ist die Funktion O(n).

Antwort

A · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · n = o(n²), aber n ist nicht o(n)

Warum das die Antwort ist

f = o(g) bedeutet, dass f(n) / g(n) gegen 0 strebt; n / n² strebt gegen 0, aber n / n = 1 nicht.

Antwort

D · n = o(n²), aber n ist nicht o(n)
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Am linkesten Knoten seines rechten Teilbaums

Warum das die Antwort ist

Alle größeren Schlüssel nahe am Knoten liegen in seinem rechten Teilbaum, und der kleinste davon ist dort der linkeste Knoten.

Antwort

B · Am linkesten Knoten seines rechten Teilbaums
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Ein Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt

Warum das die Antwort ist

Die Wurzel des Max-Heaps ist der größte behaltene Wert; jeder kleinere neue Wert ersetzt ihn in O(log k), sodass der Heap stets die bisher k kleinsten Werte enthält.

Antwort

B · Ein Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt
5.Graphentheorie

Antwort: k = 10

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

19 − 1 = 18

Zu entfernende Kanten

k = 28 − 18 = 10

Antwort

k = 10
6.Graphentheorie

Antwort: W = 39

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

BC (4): nehmen
DE (5): nehmen
CE (7): nehmen
DF (9): nehmen
EF (10): überspringen, schließt einen Kreis
BD (12): überspringen, schließt einen Kreis
AC (14): nehmen

Gesamtgewicht

W = 4 + 5 + 7 + 9 + 14 = 39

Antwort

W = 39

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