Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat die Multiplikation zweier n × n-Matrizen mit der üblichen dreifachen Schleife?

  1. AO(n²)
  2. BO(n³)
  3. CO(n)
  4. DO(n² log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Bei welcher Variante des Rucksackproblems liefert die Greedy-Regel „Gegenstände nach Wert pro Gewicht nehmen" immer eine optimale Lösung?

  1. ABeim fraktionalen Rucksackproblem, bei dem Gegenstände geteilt werden dürfen
  2. BBei keiner der beiden Varianten
  3. CBeim 0/1-Rucksackproblem, bei dem Gegenstände immer ganz genommen werden müssen
  4. DBei beiden Varianten
3.DatenstrukturenMittel

Wie lange dauert es, mit einer Adjazenzmatrix zu prüfen, ob die Kante (u, v) existiert?

  1. AO(E)
  2. BO(log V)
  3. CO(1)
  4. DO(V)
4.DatenstrukturenSchwer

Wie hoch sind Zeit- und zusätzlicher Speicherbedarf, wenn man eine einfach verkettete Liste an Ort und Stelle umkehrt?

  1. AO(n log n) Zeit und O(1) zusätzlicher Speicher
  2. BO(n) Zeit und O(1) zusätzlicher Speicher
  3. CO(1) Zeit und O(1) zusätzlicher Speicher
  4. DO(n) Zeit und O(n) zusätzlicher Speicher
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K5? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K5
H =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele Wege der Länge 3 führen von B nach F? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 3
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · O(n³)

Warum das die Antwort ist

Es gibt n² Einträge, und jeder braucht n Multiplikationen, das ergibt n³ Operationen.

Antwort

B · O(n³)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Beim fraktionalen Rucksackproblem, bei dem Gegenstände geteilt werden dürfen

Warum das die Antwort ist

Dürfen Gegenstände geteilt werden, ist das beste Verhältnis zuerst optimal; beim 0/1-Rucksack kann ein Gegenstand mit hohem Verhältnis eine bessere Kombination blockieren, sodass dynamische Programmierung nötig ist.

Antwort

A · Beim fraktionalen Rucksackproblem, bei dem Gegenstände geteilt werden dürfen
3.Datenstrukturen

Antwort: C · O(1)

Warum das die Antwort ist

Der Matrixeintrag in Zeile u, Spalte v zeigt sofort, ob die Kante existiert; eine Adjazenzliste muss eventuell die Nachbarn von u durchsuchen.

Antwort

C · O(1)
4.Datenstrukturen

Antwort: B · O(n) Zeit und O(1) zusätzlicher Speicher

Warum das die Antwort ist

Mit drei Zeigern (previous, current, next) kannst du jede Verbindung in einem Durchlauf umkehren, ohne neue Knoten anzulegen.

Antwort

B · O(n) Zeit und O(1) zusätzlicher Speicher
5.Graphentheorie

Antwort: H = 12

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Antwort

H = 12
6.Graphentheorie

Antwort: N = 1

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Ein weiterer Schritt

(M³)BF = 1·0 + 3·0 + 2·0 + 1·1 + 1·0 + 0·0 = 1

Antwort

N = 1

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