Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Ein Greedy-Algorithmus:

  1. ATrifft in jedem Schritt die lokal beste Wahl
  2. BLiefert immer die optimale Lösung
  3. CProbiert jede mögliche Lösung aus
  4. DVerwendet ausschließlich Rekursion
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Definition der Klasse P ist richtig?

  1. AProbleme, die auf jedem Computer exponentielle Zeit brauchen
  2. BEntscheidungsprobleme, die ein deterministischer Algorithmus in polynomieller Zeit löst
  3. CProbleme, die parallel gelöst werden können
  4. DProbleme, deren Lösungen in polynomieller Zeit geprüft, aber nie gefunden werden können
3.DatenstrukturenMittel

In einem binären Min-Heap, der in einem Array gespeichert ist (Index beginnt bei 0), liegen die Kinder des Knotens mit Index i bei:

  1. A2i und 2i + 1
  2. B2i + 1 und 2i + 2
  3. Ci/2 und i/2 + 1
  4. Di + 1 und i + 2
4.DatenstrukturenSchwer

Wie hoch ist unter der Annahme des einfachen gleichverteilten Hashings die erwartete Suchzeit in einer Hashtabelle mit Chaining, n Schlüsseln und m Buckets?

  1. AO(m)
  2. BO(1 + α), wobei α = n / m
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
1448762141ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Trifft in jedem Schritt die lokal beste Wahl

Warum das die Antwort ist

Greedy-Algorithmen sind schnell und für manche Probleme optimal (z. B. Dijkstra, Huffman-Codierung), aber nicht im Allgemeinen (z. B. Wechselgeldproblem bei manchen Münzsystemen).

Antwort

A · Trifft in jedem Schritt die lokal beste Wahl
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Entscheidungsprobleme, die ein deterministischer Algorithmus in polynomieller Zeit löst

Warum das die Antwort ist

P enthält Entscheidungsprobleme mit einem deterministischen Polynomialzeitalgorithmus, etwa die Prüfung, ob ein Graph zusammenhängend ist.

Antwort

B · Entscheidungsprobleme, die ein deterministischer Algorithmus in polynomieller Zeit löst
3.Datenstrukturen

Antwort: B · 2i + 1 und 2i + 2

Warum das die Antwort ist

Bei 0-basierten Arrays liegt das linke Kind bei 2i + 1, das rechte Kind bei 2i + 2 und der Elternknoten bei ⌊(i − 1)/2⌋.

Antwort

B · 2i + 1 und 2i + 2
4.Datenstrukturen

Antwort: B · O(1 + α), wobei α = n / m

Warum das die Antwort ist

Das Berechnen des Hashs kostet O(1), und die erwartete Kettenlänge ist α; hält man α durch Vergrößern beschränkt, ergibt sich eine erwartete Zeit von O(1).

Antwort

B · O(1 + α), wobei α = n / m
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1

Ungerade Knoten

C, F → 2
Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 19

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 14, C: 4
C (4): B: 12, E: 11
E (11): D: 17, F: 25
B (12)
D (17): F: 19
F (19)

Kürzester Weg

A → C → E → D → F
d(F) = 19

Antwort

d(F) = 19

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