Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma: Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Regulärer Graph: |E| = n·k/2
Baum und Wald: |E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in K_n: (n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L: (Mᴸ)_ij

Methode

Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = T(n/2) + O(1)?

AO(n)
BO(1)
CO(n log n)
DO(log n)

2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Das Halteproblem zeigt, dass:

AManche Programme auf schnelleren Computern schneller laufen, das Anhalten also von der Hardware abhängt
BSchleifen vermieden werden sollten
CKein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält
DJedes Programm irgendwann anhält

3.DatenstrukturenMittel

Warum ist das Durchlaufen eines Arrays in der Praxis oft viel schneller als das einer gleich langen verketteten Liste?

ADas Durchlaufen eines Arrays ist insgesamt O(1), das einer verketteten Liste O(n)
BVerkettete Listen speichern Elemente immer auf der Festplatte
CArrays brauchen weniger Instruktionen zum Vergleichen von Werten
DArray-Elemente liegen zusammenhängend und nutzen daher den CPU-Cache gut aus

4.DatenstrukturenSchwer

Welche Garantie geben die Regeln eines Rot-Schwarz-Baums für die Höhe eines Baums mit n Schlüsseln?

ADie Höhe beträgt höchstens n / 2
BDie Höhe beträgt genau log₂ n
CDie Höhe beträgt höchstens 2 log₂(n + 1)
DDie Höhe beträgt höchstens log₂ n + 1

5.GraphentheorieMittel

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 7|E| = 8

1Euler-Kreis
2Euler-Weg, kein Kreis
3keines von beiden

6.GraphentheorieSchwer

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F

d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(log n)

Warum das die Antwort ist

Das Problem halbiert sich bei jedem Schritt mit konstantem Aufwand pro Schritt, also gibt es etwa log₂ n Schritte.

Antwort

D · O(log n)

2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Kein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält

Warum das die Antwort ist

Turing zeigte, dass das Halteproblem unentscheidbar ist: Die Annahme, ein Entscheider existiere, führt zu einem Widerspruch mit einem Programm, das das Gegenteil tut.

Antwort

C · Kein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält

3.Datenstrukturen

Antwort: D · Array-Elemente liegen zusammenhängend und nutzen daher den CPU-Cache gut aus

Warum das die Antwort ist

Zusammenhängender Speicher bietet gute Lokalität, während verkettete Knoten verstreut liegen und viele Cache-Misses verursachen können.

Antwort

D · Array-Elemente liegen zusammenhängend und nutzen daher den CPU-Cache gut aus

4.Datenstrukturen

Antwort: C · Die Höhe beträgt höchstens 2 log₂(n + 1)

Warum das die Antwort ist

Jeder Pfad hat gleich viele schwarze Knoten, und rote Knoten dürfen nicht benachbart sein, daher ist der längste Pfad höchstens doppelt so lang wie der kürzeste, was eine Höhe von O(log n) ergibt.

Antwort

C · Die Höhe beträgt höchstens 2 log₂(n + 1)

5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; K_n hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Ungerade Knoten

B, E, F, G → 4

keines von beiden

Antwort

keines von beiden

6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 14

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 4, C: 2

C (2): E: 13

B (4): D: 10

D (10): F: 14

E (13)

F (14)

Kürzester Weg

A → B → D → F

d(F) = 14

Antwort

d(F) = 14

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