Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Zeitkomplexität hat: for i = 1 to n: for j = 1 to i: O(1)-Arbeit?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n³)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Warum braucht jede vergleichsbasierte Suche in einem sortierten Array im Worst Case Ω(log n) Vergleiche?

  1. AJeder Vergleich braucht logarithmische Zeit
  2. BJedes Element muss mindestens einmal verglichen werden
  3. CEin Entscheidungsbaum mit n möglichen Ergebnissen muss mindestens die Tiefe log₂ n haben
  4. DDie binäre Suche ist der einzig mögliche Algorithmus und braucht log₂ n Vergleiche
3.DatenstrukturenMittel

Was kostet das Einfügen eines Elements in der Mitte eines Arrays mit n Elementen?

  1. AO(log n), wegen der binären Suche
  2. BO(n²), weil jedes Element n-mal verschoben wird
  3. CO(n), weil die nachfolgenden Elemente verschoben werden müssen
  4. DO(1), weil der Index bekannt ist
4.DatenstrukturenSchwer

Was ist der Hauptvorteil einer Skip-Liste gegenüber einer sortierten verketteten Liste?

  1. AGarantierte Suche in O(1), weil jeder Knoten einen Zeiger auf jeden anderen Knoten speichert
  2. BErwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern
  3. CSie benötigt keinen zusätzlichen Speicher
  4. DSie speichert Schlüssel ungeordnet
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 7 Knoten und 18 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 7|E| = 18
k =
6.GraphentheorieSchwer
3313466712ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(n²)

Warum das die Antwort ist

Der innere Rumpf wird insgesamt n(n + 1) / 2-mal ausgeführt, was immer noch quadratisch ist.

Antwort

A · O(n²)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Ein Entscheidungsbaum mit n möglichen Ergebnissen muss mindestens die Tiefe log₂ n haben

Warum das die Antwort ist

Jeder Vergleich halbiert die Menge der verbleibenden Möglichkeiten höchstens, also braucht die Unterscheidung von n Positionen mindestens log₂ n Vergleiche.

Antwort

C · Ein Entscheidungsbaum mit n möglichen Ergebnissen muss mindestens die Tiefe log₂ n haben
3.Datenstrukturen

Antwort: C · O(n), weil die nachfolgenden Elemente verschoben werden müssen

Warum das die Antwort ist

Alle Elemente nach der Einfügestelle rücken um eine Position nach rechts, was Zeit proportional zu n kostet.

Antwort

C · O(n), weil die nachfolgenden Elemente verschoben werden müssen
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Erwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern

Warum das die Antwort ist

Zufällig gewählte Ebenen erlauben es, bei der Suche viele Knoten zu überspringen, was erwartete O(log n) für Suchen, Einfügen und Löschen ergibt.

Antwort

B · Erwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern
5.Graphentheorie

Antwort: k = 12

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

7 − 1 = 6

Zu entfernende Kanten

k = 18 − 6 = 12

Antwort

k = 12
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 14

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 3, C: 3
B (3): E: 15
C (3): E: 7
E (7): D: 13, F: 14
D (13)
F (14)

Kürzester Weg

A → C → E → F
d(F) = 14

Antwort

d(F) = 14

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