Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was bedeutet es, dass ein Problem optimale Teilstruktur hat?

  1. ADas Problem kann in konstanter Zeit gelöst werden
  2. BJedes Teilproblem hat dieselbe Größe
  3. CEine optimale Lösung lässt sich aus optimalen Lösungen seiner Teilprobleme zusammensetzen
  4. DDas Problem hat genau eine optimale Lösung, die jedes Teilproblem teilt
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was würde folgen, wenn jemand einen Polynomialzeitalgorithmus für ein NP-vollständiges Problem fände?

  1. AAlle Algorithmen mit exponentieller Laufzeit würden sofort in linearer Zeit laufen
  2. BNur dieses eine Problem würde nach P wandern
  3. CJedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP
  4. DDas Halteproblem würde entscheidbar
3.DatenstrukturenMittel

Wie viel Speicher benötigt eine Adjazenzliste für einen Graphen mit V Knoten und E Kanten?

  1. AO(E²)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V²)
4.DatenstrukturenSchwer

Kahns Algorithmus zur topologischen Sortierung entfernt wiederholt Knoten mit Eingangsgrad 0. Welche Struktur hält diese Knoten?

  1. AEine Adjazenzmatrix, die festhält, welche Knoten bereits entfernt wurden
  2. BEin nach Ausgangsgrad geordneter Max-Heap
  3. CEin Stack aller besuchten Kanten
  4. DEine Queue (oder beliebige Sammlung) der Knoten mit Eingangsgrad 0
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K7? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K7
H =
6.GraphentheorieSchwer
659142848ABCDEF

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 3 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Eine optimale Lösung lässt sich aus optimalen Lösungen seiner Teilprobleme zusammensetzen

Warum das die Antwort ist

Optimale Teilstruktur ist sowohl für Greedy-Algorithmen als auch für dynamische Programmierung nötig, damit sie korrekte Ergebnisse liefern.

Antwort

C · Eine optimale Lösung lässt sich aus optimalen Lösungen seiner Teilprobleme zusammensetzen
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Jedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP

Warum das die Antwort ist

Da sich ganz NP in polynomieller Zeit auf jedes NP-vollständige Problem reduzieren lässt, liefert ein schneller Algorithmus für eines einen schnellen Algorithmus für alle.

Antwort

C · Jedes Problem in NP wäre in polynomieller Zeit lösbar, also P = NP
3.Datenstrukturen

Antwort: B · O(V + E)

Warum das die Antwort ist

Jeder Knoten hat eine Liste, und jede Kante erscheint einmal (gerichtet) oder zweimal (ungerichtet), das ergibt O(V + E).

Antwort

B · O(V + E)
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Eine Queue (oder beliebige Sammlung) der Knoten mit Eingangsgrad 0

Warum das die Antwort ist

Bereite Knoten werden in einer Queue gehalten; das Entfernen eines Knotens senkt den Eingangsgrad seiner Nachbarn, und jeder, der 0 erreicht, wird hinzugefügt, was O(V + E) Zeit ergibt.

Antwort

D · Eine Queue (oder beliebige Sammlung) der Knoten mit Eingangsgrad 0
5.Graphentheorie

Antwort: H = 360

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Antwort

H = 360
6.Graphentheorie

Antwort: B

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 6, C: 5
2. C (5): E: 19
3. B (6): D: 15, E: 14
4. E (14): F: 18
5. D (15)
6. F (18)

Runde 3

B

Antwort

B

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