Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Dynamische Programmierung ist nützlich, wenn ein Problem Folgendes aufweist:

  1. AÜberhaupt keine Teilprobleme, sodass es in einem Schritt lösbar ist
  2. BNur zufällige Eingaben
  3. CEine einzige Schleife
  4. DÜberlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was hat der Satz von Cook und Levin gezeigt?

  1. ADas Halteproblem ist unentscheidbar
  2. BDas Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (SAT) ist NP-vollständig
  3. CP ist ungleich NP
  4. DJedes NP-Problem kann in exponentieller Zeit gelöst werden
3.DatenstrukturenMittel

Ein Straßennetz hat 100,000 Kreuzungen, die jeweils mit etwa 4 anderen verbunden sind. Welche Darstellung ist am besten geeignet?

  1. AAdjazenzmatrix
  2. BEin binärer Heap der Kanten
  3. CAdjazenzliste
  4. DEin einziges sortiertes Array der Knoten
4.DatenstrukturenSchwer

Wie lange dauert die Suche nach einem beliebigen Schlüssel in einem binären Min-Heap mit n Elementen?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log log n)
  4. DO(log n)
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 9 Knoten und 12 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 9|E| = 12
k =
6.GraphentheorieSchwer
ABCDE

Wie viele geschlossene Wege der Länge 2 beginnen und enden bei E? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Überlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur

Warum das die Antwort ist

Das Speichern der Ergebnisse überlappender Teilprobleme (Memoisation oder Tabellierung) vermeidet doppelte Arbeit und macht aus exponentiellen Algorithmen polynomielle.

Antwort

D · Überlappende Teilprobleme und optimale Teilstruktur
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (SAT) ist NP-vollständig

Warum das die Antwort ist

Cook und Levin zeigten unabhängig voneinander, dass sich jedes Problem in NP in polynomieller Zeit auf SAT reduzieren lässt; SAT war damit das erste bekannte NP-vollständige Problem.

Antwort

B · Das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (SAT) ist NP-vollständig
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Adjazenzliste

Warum das die Antwort ist

Eine Matrix bräuchte 1010 Zellen, fast alle leer; eine Adjazenzliste speichert nur die rund 400,000 Kanteneinträge.

Antwort

C · Adjazenzliste
4.Datenstrukturen

Antwort: B · O(n)

Warum das die Antwort ist

Ein Heap liefert keine Regel, in welchem Teilbaum ein Schlüssel liegt, daher müssen im schlechtesten Fall alle Knoten geprüft werden; nur das Minimum ist schnell zu finden.

Antwort

B · O(n)
5.Graphentheorie

Antwort: k = 4

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

9 − 1 = 8

Zu entfernende Kanten

k = 12 − 8 = 4

Antwort

k = 4
6.Graphentheorie

Antwort: N = 3

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

Antwort

N = 3

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