Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Kürzeste einfache Wege lassen sich in polynomieller Zeit finden. Was ist über das Finden des längsten einfachen Weges zwischen zwei Knoten in einem allgemeinen Graphen bekannt?

  1. AEs ist unentscheidbar
  2. BEs ist NP-schwer
  3. CEs lässt sich mit dem Dijkstra-Algorithmus und negierten Gewichten lösen
  4. DEs ist immer in O(V + E) lösbar
3.DatenstrukturenMittel

Wozu dient ein Sentinel-Knoten (Dummy-Knoten) in einer verketteten Liste?

  1. AEr vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen
  2. BEr hält die Liste sortiert
  3. CEr speichert die Anzahl der Elemente
  4. DUm zu verhindern, dass die Liste über eine feste Höchstzahl von Knoten hinauswächst
4.DatenstrukturenSchwer

Du willst für jedes Element eines Arrays das nächstgrößere Element rechts davon finden, insgesamt in O(n). Welche Struktur hilft?

  1. AEin binärer Suchbaum, der für jedes Element neu aufgebaut wird
  2. BEine Hashtabelle aller Elemente
  3. CEin Stack, der Elemente hält, die noch auf ihre Antwort warten
  4. DEine Queue, die jedes Elementpaar enthält
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 4 Knoten vom Grad 3, 4 Knoten vom Grad 4, 4 Knoten vom Grad 5, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

4 × deg 34 × deg 44 × deg 5
L =
6.GraphentheorieSchwer
12971561551ABCDEF

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 4 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(n)

Warum das die Antwort ist

Es gibt n Ebenen mit jeweils konstantem Aufwand, wie bei einer rekursiven Summe über ein Array.

Antwort

C · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Es ist NP-schwer

Warum das die Antwort ist

Ein längster einfacher Weg der Länge V − 1 ist ein Hamiltonpfad, ein NP-vollständiges Problem; auf gerichteten azyklischen Graphen ist es dagegen in linearer Zeit lösbar.

Antwort

B · Es ist NP-schwer
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Er vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen

Warum das die Antwort ist

Mit einem Sentinel hat jeder echte Knoten einen Vorgänger, daher braucht Einfügen oder Löschen am Kopf keine Sonderbehandlung.

Antwort

A · Er vereinfacht den Code, weil Sonderfälle am Kopf oder Ende wegfallen
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Ein Stack, der Elemente hält, die noch auf ihre Antwort warten

Warum das die Antwort ist

Beim Durchlauf von links nach rechts entnimmst du jedes gestapelte Element, das kleiner als das aktuelle ist (das aktuelle Element ist seine Antwort), und legst dann das aktuelle ab; jedes Element bewegt sich höchstens zweimal.

Antwort

C · Ein Stack, der Elemente hält, die noch auf ihre Antwort warten
5.Graphentheorie

Antwort: L = 26

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 48 = 2(L + 12) − 2
L = 26

Antwort

L = 26

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: E

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 12, C: 9
2. C (9): E: 15
3. B (12): D: 27, E: 13
4. E (13): D: 14, F: 18
5. D (14)
6. F (18)

Runde 4

E

Antwort

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms