Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Die untere Schranke für vergleichsbasiertes Sortieren im Worst Case ist:

  1. AΩ(n)
  2. BΩ(log n)
  3. CΩ(n log n)
  4. DΩ(n²)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Das Halteproblem zeigt, dass:

  1. AManche Programme auf schnelleren Computern schneller laufen, das Anhalten also von der Hardware abhängt
  2. BSchleifen vermieden werden sollten
  3. CJedes Programm irgendwann anhält
  4. DKein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält
3.DatenstrukturenMittel

Wie viel Speicher benötigt eine Adjazenzliste für einen Graphen mit V Knoten und E Kanten?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V × E)
  3. CO(E²)
  4. DO(V²)
4.DatenstrukturenSchwer

Wie verbessert ein Radix-Baum (komprimierter Trie) einen einfachen Trie?

  1. AEr behält nur den ersten Buchstaben jedes Worts
  2. BEr speichert jedes Wort in einer Hashtabelle an der Wurzel statt in einzelnen Knoten
  3. CEr fasst Ketten von Knoten mit nur einem Kind zu einer mit einer Zeichenkette beschrifteten Kante zusammen
  4. DEr sortiert die Kinder jedes Knotens nach Häufigkeit
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 13 Knoten und 22 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 13|E| = 22
k =
6.GraphentheorieSchwer
31113614315146ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Ω(n log n)

Warum das die Antwort ist

Jedes vergleichsbasierte Sortierverfahren benötigt im Worst Case mindestens log₂(n!) ≈ n log n Vergleiche. Countingsort unterbietet dies, weil es keine Vergleiche durchführt.

Antwort

C · Ω(n log n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Kein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält

Warum das die Antwort ist

Turing zeigte, dass das Halteproblem unentscheidbar ist: Die Annahme, ein Entscheider existiere, führt zu einem Widerspruch mit einem Programm, das das Gegenteil tut.

Antwort

D · Kein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält
3.Datenstrukturen

Antwort: A · O(V + E)

Warum das die Antwort ist

Jeder Knoten hat eine Liste, und jede Kante erscheint einmal (gerichtet) oder zweimal (ungerichtet), das ergibt O(V + E).

Antwort

A · O(V + E)
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Er fasst Ketten von Knoten mit nur einem Kind zu einer mit einer Zeichenkette beschrifteten Kante zusammen

Warum das die Antwort ist

Das Zusammenfassen unverzweigter Pfade verringert die Anzahl der Knoten und den Speicherbedarf, während die Präfixsuche erhalten bleibt.

Antwort

C · Er fasst Ketten von Knoten mit nur einem Kind zu einer mit einer Zeichenkette beschrifteten Kante zusammen
5.Graphentheorie

Antwort: k = 10

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

13 − 1 = 12

Zu entfernende Kanten

k = 22 − 12 = 10

Antwort

k = 10
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 12

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 3, C: 11
B (3): D: 9, G: 18
D (9): F: 12, G: 15
C (11): E: 25
F (12)
G (15)
E (25)

Kürzester Weg

A → B → D → F
d(F) = 12

Antwort

d(F) = 12

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