Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Aussage über die Klein-o-Notation ist richtig?

  1. An = o(n²), aber n ist nicht o(n)
  2. B2n = o(n), weil 2n langsam wächst
  3. Cn² = o(n)
  4. Dn = o(n), da jede Funktion Klein-o von sich selbst ist
3.DatenstrukturenMittel

Mit welcher Datenstruktur prüft man, ob die Klammern in "{[()]}" ausgeglichen sind?

  1. AMit einem Stack
  2. BMit einer Queue
  3. CMit einem binären Suchbaum
  4. DMit einer Hashtabelle
4.DatenstrukturenSchwer

Kahns Algorithmus zur topologischen Sortierung entfernt wiederholt Knoten mit Eingangsgrad 0. Welche Struktur hält diese Knoten?

  1. AEin Stack aller besuchten Kanten
  2. BEin nach Ausgangsgrad geordneter Max-Heap
  3. CEine Adjazenzmatrix, die festhält, welche Knoten bereits entfernt wurden
  4. DEine Queue (oder beliebige Sammlung) der Knoten mit Eingangsgrad 0
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 3 Knoten vom Grad 4, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

3 × deg 4
L =
6.GraphentheorieSchwer
51511411111111014ABCDEFG

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 5 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(n²)

Warum das die Antwort ist

Der Aufwand summiert sich auf etwa n² / 2; das ist die Rekursionsgleichung von Selectionsort oder von Quicksort mit dem schlechtesten Pivot.

Antwort

C · O(n²)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · n = o(n²), aber n ist nicht o(n)

Warum das die Antwort ist

f = o(g) bedeutet, dass f(n) / g(n) gegen 0 strebt; n / n² strebt gegen 0, aber n / n = 1 nicht.

Antwort

A · n = o(n²), aber n ist nicht o(n)
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Mit einem Stack

Warum das die Antwort ist

Lege jede öffnende Klammer mit push ab und hole bei einer schließenden Klammer mit pop eine heraus; sie muss zur entnommenen Klammer passen, und am Ende muss der Stack leer sein.

Antwort

A · Mit einem Stack
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Eine Queue (oder beliebige Sammlung) der Knoten mit Eingangsgrad 0

Warum das die Antwort ist

Bereite Knoten werden in einer Queue gehalten; das Entfernen eines Knotens senkt den Eingangsgrad seiner Nachbarn, und jeder, der 0 erreicht, wird hinzugefügt, was O(V + E) Zeit ergibt.

Antwort

D · Eine Queue (oder beliebige Sammlung) der Knoten mit Eingangsgrad 0
5.Graphentheorie

Antwort: L = 8

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 12 = 2(L + 3) − 2
L = 8

Antwort

L = 8

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: C

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 5, C: 15
2. B (5): D: 9, G: 6
3. G (6)
4. D (9): F: 20
5. C (15): E: 26
6. F (20)
7. E (26)

Runde 5

C

Antwort

C

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