Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue AufgabenZurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Ein Greedy-Algorithmus:

  1. AProbiert jede mögliche Lösung aus
  2. BLiefert immer die optimale Lösung
  3. CTrifft in jedem Schritt die lokal beste Wahl
  4. DVerwendet ausschließlich Rekursion
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Der Strassen-Algorithmus multipliziert Matrizen mit 7 statt 8 rekursiven Multiplikationen von Blöcken halber Größe. Welche Laufzeit hat er?

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n² log n)
  3. CΘ(nlog₂ 7), etwa n2,81
  4. DΘ(n2)
3.DatenstrukturenMittel

Ein Straßennetz hat 100,000 Kreuzungen, die jeweils mit etwa 4 anderen verbunden sind. Welche Darstellung ist am besten geeignet?

  1. AEin einziges sortiertes Array der Knoten
  2. BAdjazenzliste
  3. CEin binärer Heap der Kanten
  4. DAdjazenzmatrix
4.DatenstrukturenSchwer

Warum kann man Elemente aus einem Standard-Bloom-Filter nicht einfach durch Löschen ihrer Bits entfernen?

  1. ABits in einem Bloom-Filter können nach der Erstellung nicht geändert werden
  2. BBloom-Filter speichern die vollständigen Elemente, die nach dem Hashen nicht wiedergefunden werden können
  3. CDiese Bits können auch zu anderen Elementen gehören, was falsch-negative Ergebnisse verursachen würde
  4. DLöschen würde die Falsch-positiv-Rate auf 100 % erhöhen
5.GraphentheorieMittel
ABCDEEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
ABCDE

Wie viele Wege der Länge 2 führen von E nach B? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Trifft in jedem Schritt die lokal beste Wahl

Warum das die Antwort ist

Greedy-Algorithmen sind schnell und für manche Probleme optimal (z. B. Dijkstra, Huffman-Codierung), aber nicht im Allgemeinen (z. B. Wechselgeldproblem bei manchen Münzsystemen).

Antwort

C · Trifft in jedem Schritt die lokal beste Wahl
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Θ(nlog₂ 7), etwa n2,81

Warum das die Antwort ist

Mit a = 7 und b = 2 dominiert nlog₂ 7 den O(n²)-Additionsaufwand, das ergibt etwa n2,81.

Antwort

C · Θ(nlog₂ 7), etwa n2,81
3.Datenstrukturen

Antwort: B · Adjazenzliste

Warum das die Antwort ist

Eine Matrix bräuchte 1010 Zellen, fast alle leer; eine Adjazenzliste speichert nur die rund 400,000 Kanteneinträge.

Antwort

B · Adjazenzliste
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Diese Bits können auch zu anderen Elementen gehören, was falsch-negative Ergebnisse verursachen würde

Warum das die Antwort ist

Das Löschen eines geteilten Bits würde ein anderes Element als fehlend erscheinen lassen; zählende Bloom-Filter verwenden Zähler statt Bits, um Löschen zu ermöglichen.

Antwort

C · Diese Bits können auch zu anderen Elementen gehören, was falsch-negative Ergebnisse verursachen würde
5.Graphentheorie

Antwort: keines von beiden

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 1

Ungerade Knoten

B, C, D, E → 4
keines von beiden

Antwort

keines von beiden
6.Graphentheorie

Antwort: N = 1

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)EB = 0·1 + 1·0 + 1·1 + 0·1 + 0·1 = 1

Antwort

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms