Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Die untere Schranke für vergleichsbasiertes Sortieren im Worst Case ist:

  1. AΩ(log n)
  2. BΩ(n²)
  3. CΩ(n)
  4. DΩ(n log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Das 0/1-Rucksackproblem benötigt mit dynamischer Programmierung O(nW) Zeit. Warum nennt man das pseudopolynomiell?

  1. AWeil er nur für W = 0 funktioniert
  2. BWeil der Algorithmus randomisiert ist und seine Laufzeit je nach Eingabe schwankt
  3. CW ist eine Zahl, daher ist die Laufzeit exponentiell in der Anzahl der Bits, mit denen W geschrieben wird
  4. DWeil n immer klein ist
3.DatenstrukturenMittel

Warum ist das Durchlaufen eines Arrays in der Praxis oft viel schneller als das einer gleich langen verketteten Liste?

  1. AArray-Elemente liegen zusammenhängend und nutzen daher den CPU-Cache gut aus
  2. BArrays brauchen weniger Instruktionen zum Vergleichen von Werten
  3. CVerkettete Listen speichern Elemente immer auf der Festplatte
  4. DDas Durchlaufen eines Arrays ist insgesamt O(1), das einer verketteten Liste O(n)
4.DatenstrukturenSchwer

Was ist der Hauptvorteil einer Skip-Liste gegenüber einer sortierten verketteten Liste?

  1. ASie benötigt keinen zusätzlichen Speicher
  2. BSie speichert Schlüssel ungeordnet
  3. CErwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern
  4. DGarantierte Suche in O(1), weil jeder Knoten einen Zeiger auf jeden anderen Knoten speichert
5.GraphentheorieMittel
ABCDEEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
2051213941417ABCDEF

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Ω(n log n)

Warum das die Antwort ist

Jedes vergleichsbasierte Sortierverfahren benötigt im Worst Case mindestens log₂(n!) ≈ n log n Vergleiche. Countingsort unterbietet dies, weil es keine Vergleiche durchführt.

Antwort

D · Ω(n log n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · W ist eine Zahl, daher ist die Laufzeit exponentiell in der Anzahl der Bits, mit denen W geschrieben wird

Warum das die Antwort ist

Die Laufzeit ist polynomiell im Wert von W, aber exponentiell in dessen Länge (log W Bits); das 0/1-Rucksackproblem ist NP-vollständig.

Antwort

C · W ist eine Zahl, daher ist die Laufzeit exponentiell in der Anzahl der Bits, mit denen W geschrieben wird
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Array-Elemente liegen zusammenhängend und nutzen daher den CPU-Cache gut aus

Warum das die Antwort ist

Zusammenhängender Speicher bietet gute Lokalität, während verkettete Knoten verstreut liegen und viele Cache-Misses verursachen können.

Antwort

A · Array-Elemente liegen zusammenhängend und nutzen daher den CPU-Cache gut aus
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Erwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern

Warum das die Antwort ist

Zufällig gewählte Ebenen erlauben es, bei der Suche viele Knoten zu überspringen, was erwartete O(log n) für Suchen, Einfügen und Löschen ergibt.

Antwort

C · Erwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Ungerade Knoten

0
Euler-Kreis

Antwort

Euler-Kreis
6.Graphentheorie

Antwort: W = 44

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

DE (4): nehmen
AC (5): nehmen
CE (9): nehmen
BC (12): nehmen
BD (13): überspringen, schließt einen Kreis
DF (14): nehmen

Gesamtgewicht

W = 4 + 5 + 9 + 12 + 14 = 44

Antwort

W = 44

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