Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Greedy-Regel liefert beim Aktivitätsauswahlproblem immer eine maximale Anzahl sich nicht überschneidender Aktivitäten?

  1. AZuerst die Aktivität mit den wenigsten Überschneidungen wählen, dann mit den verträglichen wiederholen
  2. BDie Aktivität wählen, die am frühesten endet, dann mit den verträglichen wiederholen
  3. CZuerst die kürzeste Aktivität wählen
  4. DDie Aktivität wählen, die am frühesten beginnt
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Insertionsort läuft bei sortierter Eingabe in O(n). Widerspricht das der unteren Schranke Ω(n log n) für vergleichsbasiertes Sortieren?

  1. AJa, aber nur für Arrays mit weniger als 100 Elementen
  2. BNein, die untere Schranke gilt für den Worst Case über alle Eingaben, nicht für jede Eingabe
  3. CNein, weil Insertionsort kein vergleichsbasiertes Sortierverfahren ist
  4. DJa, die untere Schranke ist also falsch
3.DatenstrukturenMittel

Ein Knoten in einem binären Suchbaum hat einen rechten Teilbaum. Wo liegt sein In-Order-Nachfolger?

  1. AImmer bei seinem Elternknoten
  2. BImmer bei seinem rechten Kind
  3. CAm linkesten Knoten seines rechten Teilbaums
  4. DAm rechtesten Knoten seines linken Teilbaums
4.DatenstrukturenSchwer

Was ist der Hauptvorteil einer Skip-Liste gegenüber einer sortierten verketteten Liste?

  1. AErwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern
  2. BSie benötigt keinen zusätzlichen Speicher
  3. CGarantierte Suche in O(1), weil jeder Knoten einen Zeiger auf jeden anderen Knoten speichert
  4. DSie speichert Schlüssel ungeordnet
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K8? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K8
H =
6.GraphentheorieSchwer
118131381145ABCDEF

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 4 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Die Aktivität wählen, die am frühesten endet, dann mit den verträglichen wiederholen

Warum das die Antwort ist

Dass die Wahl des frühesten Endzeitpunkts optimal ist, lässt sich mit einem Austauschargument beweisen; für die anderen Regeln gibt es Gegenbeispiele.

Antwort

B · Die Aktivität wählen, die am frühesten endet, dann mit den verträglichen wiederholen
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Nein, die untere Schranke gilt für den Worst Case über alle Eingaben, nicht für jede Eingabe

Warum das die Antwort ist

Die Schranke besagt, dass jedes vergleichsbasierte Sortierverfahren bei irgendeiner Eingabe der Größe n etwa n log n Vergleiche braucht; spezielle Eingaben können viel schneller sein.

Antwort

B · Nein, die untere Schranke gilt für den Worst Case über alle Eingaben, nicht für jede Eingabe
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Am linkesten Knoten seines rechten Teilbaums

Warum das die Antwort ist

Alle größeren Schlüssel nahe am Knoten liegen in seinem rechten Teilbaum, und der kleinste davon ist dort der linkeste Knoten.

Antwort

C · Am linkesten Knoten seines rechten Teilbaums
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Erwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern

Warum das die Antwort ist

Zufällig gewählte Ebenen erlauben es, bei der Suche viele Knoten zu überspringen, was erwartete O(log n) für Suchen, Einfügen und Löschen ergibt.

Antwort

A · Erwartete Suche in O(log n) durch mehrere Ebenen von Vorwärtszeigern
5.Graphentheorie

Antwort: H = 2520

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Antwort

H = 2520
6.Graphentheorie

Antwort: E

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 11, C: 8
2. C (8): E: 21
3. B (11): D: 24, E: 16
4. E (16): F: 20
5. F (20)
6. D (24)

Runde 4

E

Antwort

E

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