Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Aussage über eine rekursive Funktion ohne erreichbaren Basisfall ist richtig?

  1. ASie ruft sich immer weiter selbst auf, bis der Aufrufstack überläuft
  2. BSie gibt automatisch 0 zurück
  3. CDer Compiler wandelt sie immer in eine Schleife um, die sicher endet
  4. DSie läuft in O(1) Zeit
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Ein Problem ist NP-vollständig, wenn es:

  1. AIn Polynomialzeit lösbar ist
  2. BAußerhalb von NP liegt, aber schwerer als alle NP-Probleme ist, wie das Halteproblem
  3. CUnmöglich zu lösen ist
  4. DIn NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt
3.DatenstrukturenMittel

Welche Datenstruktur nutzt ein laufendes Programm, um aktive Funktionsaufrufe und ihre lokalen Variablen zu verwalten?

  1. AEinen binären Suchbaum der Frames
  2. BEine Hashtabelle der Funktionen
  3. CDie Heap-Speicher-Queue
  4. DDen Aufrufstack (Call Stack)
4.DatenstrukturenSchwer

Wofür wird die Union-Find-Struktur in Kruskals Algorithmus für minimale Spannbäume verwendet?

  1. AUm den Startknoten zu wählen
  2. BUm während der Suche die aktuelle Distanz jedes Knotens von der Quelle zu speichern
  3. CUm die Kanten nach Gewicht zu sortieren
  4. DUm zu prüfen, ob die beiden Endpunkte einer Kante bereits verbunden sind
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
31015134191817122ABCDEFG

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Sie ruft sich immer weiter selbst auf, bis der Aufrufstack überläuft

Warum das die Antwort ist

Ohne Basisfall endet die Rekursion nie; in der Praxis geht der Speicher für die Stackframes aus, und das Programm stürzt ab.

Antwort

A · Sie ruft sich immer weiter selbst auf, bis der Aufrufstack überläuft
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · In NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt

Warum das die Antwort ist

NP-vollständige Probleme sind die schwersten in NP; ein polynomieller Algorithmus für eines davon würde einen für ganz NP liefern.

Antwort

D · In NP liegt und sich jedes NP-Problem in Polynomialzeit darauf reduzieren lässt
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Den Aufrufstack (Call Stack)

Warum das die Antwort ist

Jeder Aufruf legt einen Stackframe ab und jede Rückkehr entfernt ihn, deshalb endet der jüngste Aufruf zuerst.

Antwort

D · Den Aufrufstack (Call Stack)
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Um zu prüfen, ob die beiden Endpunkte einer Kante bereits verbunden sind

Warum das die Antwort ist

Find zeigt, ob beide Endpunkte in derselben Komponente liegen; wenn nicht, wird die Kante hinzugefügt und union verschmilzt die Komponenten.

Antwort

D · Um zu prüfen, ob die beiden Endpunkte einer Kante bereits verbunden sind
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Ungerade Knoten

0
Euler-Kreis

Antwort

Euler-Kreis
6.Graphentheorie

Antwort: W = 46

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

GE (2): nehmen
AC (3): nehmen
DF (4): nehmen
BC (10): nehmen
GD (12): nehmen
DE (13): überspringen, schließt einen Kreis
BD (15): nehmen

Gesamtgewicht

W = 2 + 3 + 4 + 10 + 12 + 15 = 46

Antwort

W = 46

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