Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was misst die amortisierte Analyse?

  1. ADie durchschnittlichen Kosten pro Operation über eine Worst-Case-Folge von Operationen
  2. BDie erwarteten Kosten über zufällige Eingaben
  3. CDie Kosten der einzelnen teuersten Operation irgendwo in der Folge
  4. DDie Kosten eines Algorithmus bei der besten Eingabe
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Warum kann der Dijkstra-Algorithmus falsche Ergebnisse liefern, wenn einige Kantengewichte negativ sind?

  1. AEin Knoten wird beim Entnehmen endgültig festgelegt, aber eine spätere negative Kante könnte ihm noch einen kürzeren Weg geben
  2. BNegative Zahlen können nicht in einer Prioritätswarteschlange gespeichert werden
  3. CEr funktioniert nur auf ungerichteten Graphen
  4. DEr gerät bei jeder negativen Kante in eine Endlosschleife
3.DatenstrukturenMittel

AVL-Bäume und Rot-Schwarz-Bäume garantieren:

  1. ASuche in konstanter Zeit in jedem Fall
  2. BDass kein Knoten zwei Kindknoten hat
  3. CDass die Schlüssel in Einfügereihenfolge gespeichert werden
  4. DEine Höhe von O(log n) durch Rebalancierung
4.DatenstrukturenSchwer

Warum könnte ein Server seine Hashfunktion zufällig aus einer universellen Familie wählen?

  1. ADamit es sehr unwahrscheinlich ist, dass ein Angreifer viele Schlüssel wählen kann, die alle kollidieren
  2. BDamit die Tabelle nicht mehr vergrößert werden muss
  3. CUm zu garantieren, dass nie zwei Schlüssel kollidieren, welche Schlüssel ein Angreifer auch sendet
  4. DDamit die Hashtabelle sortiert ist
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 12 Knoten und 15 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 12|E| = 15
k =
6.GraphentheorieSchwer
161867121417ABCDE

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Die durchschnittlichen Kosten pro Operation über eine Worst-Case-Folge von Operationen

Warum das die Antwort ist

Die amortisierte Analyse verteilt die Kosten seltener teurer Operationen auf viele billige und liefert so einen garantierten Durchschnitt für jede Folge.

Antwort

A · Die durchschnittlichen Kosten pro Operation über eine Worst-Case-Folge von Operationen
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Ein Knoten wird beim Entnehmen endgültig festgelegt, aber eine spätere negative Kante könnte ihm noch einen kürzeren Weg geben

Warum das die Antwort ist

Der Greedy-Schritt beruht auf nichtnegativen Gewichten, damit entnommene Distanzen endgültig sind; bei möglicherweise negativen Gewichten verwendet man Bellman-Ford.

Antwort

A · Ein Knoten wird beim Entnehmen endgültig festgelegt, aber eine spätere negative Kante könnte ihm noch einen kürzeren Weg geben
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Eine Höhe von O(log n) durch Rebalancierung

Warum das die Antwort ist

Selbstbalancierende Bäume halten die Höhe logarithmisch, sodass Suchen, Einfügen und Löschen im schlechtesten Fall O(log n) kosten.

Antwort

D · Eine Höhe von O(log n) durch Rebalancierung
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Damit es sehr unwahrscheinlich ist, dass ein Angreifer viele Schlüssel wählen kann, die alle kollidieren

Warum das die Antwort ist

Beim universellen Hashing ist die erwartete Anzahl von Kollisionen für jede Schlüsselmenge klein, da der Angreifer nicht weiß, welche Funktion gewählt wurde.

Antwort

A · Damit es sehr unwahrscheinlich ist, dass ein Angreifer viele Schlüssel wählen kann, die alle kollidieren
5.Graphentheorie

Antwort: k = 4

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

12 − 1 = 11

Zu entfernende Kanten

k = 15 − 11 = 4

Antwort

k = 4
6.Graphentheorie

Antwort: W = 41

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

BC (6): nehmen
BD (7): nehmen
CE (12): nehmen
DE (14): überspringen, schließt einen Kreis
AB (16): nehmen

Gesamtgewicht

W = 6 + 7 + 12 + 16 = 41

Antwort

W = 41

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