Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was misst die amortisierte Analyse?

  1. ADie erwarteten Kosten über zufällige Eingaben
  2. BDie Kosten eines Algorithmus bei der besten Eingabe
  3. CDie durchschnittlichen Kosten pro Operation über eine Worst-Case-Folge von Operationen
  4. DDie Kosten der einzelnen teuersten Operation irgendwo in der Folge
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welches dieser Erfüllbarkeitsprobleme ist bekanntermaßen in polynomieller Zeit lösbar?

  1. A3-SAT, bei dem jede Klausel genau drei Literale hat
  2. BSchaltkreis-Erfüllbarkeit
  3. C2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat
  4. DAllgemeines SAT für Formeln in konjunktiver Normalform
3.DatenstrukturenMittel

AVL-Bäume und Rot-Schwarz-Bäume garantieren:

  1. AEine Höhe von O(log n) durch Rebalancierung
  2. BDass die Schlüssel in Einfügereihenfolge gespeichert werden
  3. CSuche in konstanter Zeit in jedem Fall
  4. DDass kein Knoten zwei Kindknoten hat
4.DatenstrukturenSchwer

Die Schlüssel 5, 3, 8, 1 werden in dieser Reihenfolge in einen leeren, arraybasierten binären Min-Heap eingefügt. Wie sieht das Array am Ende aus?

  1. A[1, 3, 8, 5]
  2. B[3, 1, 8, 5]
  3. C[1, 3, 5, 8]
  4. D[1, 5, 8, 3]
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 15 Knoten und 23 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 15|E| = 23
k =
6.GraphentheorieSchwer
1371115545748ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Die durchschnittlichen Kosten pro Operation über eine Worst-Case-Folge von Operationen

Warum das die Antwort ist

Die amortisierte Analyse verteilt die Kosten seltener teurer Operationen auf viele billige und liefert so einen garantierten Durchschnitt für jede Folge.

Antwort

C · Die durchschnittlichen Kosten pro Operation über eine Worst-Case-Folge von Operationen
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · 2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat

Warum das die Antwort ist

2-SAT liegt in P (lineare Zeit über starke Zusammenhangskomponenten), während 3-SAT NP-vollständig ist.

Antwort

C · 2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Eine Höhe von O(log n) durch Rebalancierung

Warum das die Antwort ist

Selbstbalancierende Bäume halten die Höhe logarithmisch, sodass Suchen, Einfügen und Löschen im schlechtesten Fall O(log n) kosten.

Antwort

A · Eine Höhe von O(log n) durch Rebalancierung
4.Datenstrukturen

Antwort: A · [1, 3, 8, 5]

Warum das die Antwort ist

Nach 5, 3, 8 ist das Array [3, 5, 8]; 1 kommt an Index 3, wird mit seinem Elternknoten 5 und dann mit 3 vertauscht, das ergibt [1, 3, 8, 5].

Antwort

A · [1, 3, 8, 5]
5.Graphentheorie

Antwort: k = 9

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

15 − 1 = 14

Zu entfernende Kanten

k = 23 − 14 = 9

Antwort

k = 9
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 30

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 13
B (13): C: 20, D: 24, G: 18
G (18): D: 22, E: 26
C (20)
D (22)
E (26): F: 30
F (30)

Kürzester Weg

A → B → G → E → F
d(F) = 30

Antwort

d(F) = 30

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