Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Warum wird die Basis eines Logarithmus in der Groß-O-Notation meist weggelassen, wie in O(log n)?

  1. ADie Basis spielt nur für kleine n eine Rolle
  2. BAlle Logarithmen in der Informatik haben die Basis 10, die Basis ist also implizit
  3. CLogarithmen werden immer auf ganze Zahlen gerundet
  4. DLogarithmen zu verschiedenen Basen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Was hat der Satz von Cook und Levin gezeigt?

  1. ADas Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (SAT) ist NP-vollständig
  2. BDas Halteproblem ist unentscheidbar
  3. CP ist ungleich NP
  4. DJedes NP-Problem kann in exponentieller Zeit gelöst werden
3.DatenstrukturenMittel

Welchen abstrakten Datentyp verwendet Dijkstras Algorithmus, um den nächsten zu verarbeitenden Knoten zu wählen?

  1. AEine Menge ohne Ordnung
  2. BEinen Stack
  3. CEine Min-Prioritätswarteschlange
  4. DEine FIFO-Queue
4.DatenstrukturenSchwer

Du musst aus einem Strom von n Zahlen die k kleinsten Werte mit O(k) Speicher behalten. Welcher Ansatz schafft das in O(n log k) Zeit?

  1. AEin sortiertes Array aller n Werte
  2. BEin Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt
  3. CEine FIFO-Queue der letzten k Werte
  4. DEin Min-Heap mit allen n Werten, aus dem am Ende die k kleinsten entnommen werden
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 8 Knoten und 18 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 8|E| = 18
k =
6.GraphentheorieSchwer
1412114716131013ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Logarithmen zu verschiedenen Basen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor

Warum das die Antwort ist

Ein Basiswechsel multipliziert den Logarithmus mit einer Konstante, und Groß-O ignoriert konstante Faktoren.

Antwort

D · Logarithmen zu verschiedenen Basen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (SAT) ist NP-vollständig

Warum das die Antwort ist

Cook und Levin zeigten unabhängig voneinander, dass sich jedes Problem in NP in polynomieller Zeit auf SAT reduzieren lässt; SAT war damit das erste bekannte NP-vollständige Problem.

Antwort

A · Das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (SAT) ist NP-vollständig
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Eine Min-Prioritätswarteschlange

Warum das die Antwort ist

Eine Min-Prioritätswarteschlange, meist ein binärer Heap, liefert effizient den unbesuchten Knoten mit der kleinsten Distanz.

Antwort

C · Eine Min-Prioritätswarteschlange
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Ein Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt

Warum das die Antwort ist

Die Wurzel des Max-Heaps ist der größte behaltene Wert; jeder kleinere neue Wert ersetzt ihn in O(log k), sodass der Heap stets die bisher k kleinsten Werte enthält.

Antwort

B · Ein Max-Heap der Größe k, dessen Wurzel ersetzt wird, wenn ein kleinerer Wert ankommt
5.Graphentheorie

Antwort: k = 11

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

8 − 1 = 7

Zu entfernende Kanten

k = 18 − 7 = 11

Antwort

k = 11
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 24

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): C: 14
C (14): B: 26, E: 18, G: 24
E (18): D: 25, F: 24
F (24)
G (24)
D (25)
B (26)

Kürzester Weg

A → C → E → F
d(F) = 24

Antwort

d(F) = 24

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