Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was berechnet der Floyd-Warshall-Algorithmus, und wie schnell?

  1. AKürzeste Wege von einem Startknoten zu allen anderen in O(V + E)
  2. BEine topologische Sortierung in O(V²)
  3. CKürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren in O(V³)
  4. DEinen minimalen Spannbaum in O(E log V)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Wie wird das Problem des Handlungsreisenden (TSP) eingeordnet?

  1. ADie Entscheidungsversion liegt in P, aber die Optimierungsversion ist NP-vollständig
  2. BEs ist unentscheidbar
  3. CEs liegt in P, weil der Dijkstra-Algorithmus es löst, indem er jede Stadt einmal besucht
  4. DDie Entscheidungsversion ist NP-vollständig, die Optimierungsversion NP-schwer
3.DatenstrukturenMittel

Wie wird in einer zirkulären Queue, die in einem Array der Kapazität n gespeichert ist, die nächste Position nach Index i berechnet?

  1. A2i + 1
  2. Bi + 1
  3. C(i − 1) mod n
  4. D(i + 1) mod n
4.DatenstrukturenSchwer

Welches Paar von Traversierungen bestimmt immer einen eindeutigen Binärbaum mit verschiedenen Schlüsseln?

  1. APre-Order und Post-Order
  2. BPre-Order und In-Order
  3. CLevel-Order allein
  4. DPre-Order allein
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 19 Knoten und 20 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 19|E| = 20
k =
6.GraphentheorieSchwer
1331961752ABCDEF

Der Prim-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, beginnend bei Knoten E. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 5 hinzufügt.

Start: Ek = 5
  1. 1Kante AB
  2. 2Kante AC
  3. 3Kante BC
  4. 4Kante BD
  5. 5Kante CE
  6. 6Kante DE
  7. 7Kante DF
  8. 8Kante BE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren in O(V³)

Warum das die Antwort ist

Floyd-Warshall ist ein Algorithmus der dynamischen Programmierung, der nacheinander jeden Knoten als Zwischenknoten zulässt und O(V³) Zeit braucht.

Antwort

C · Kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren in O(V³)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Die Entscheidungsversion ist NP-vollständig, die Optimierungsversion NP-schwer

Warum das die Antwort ist

„Gibt es eine Rundreise der Länge höchstens k?" ist NP-vollständig; die kürzeste Rundreise zu finden ist NP-schwer, da es mindestens ebenso schwer ist.

Antwort

D · Die Entscheidungsversion ist NP-vollständig, die Optimierungsversion NP-schwer
3.Datenstrukturen

Antwort: D · (i + 1) mod n

Warum das die Antwort ist

Die Modulo-Operation lässt Index n − 1 wieder auf 0 umlaufen, sodass das Array ohne Verschieben von Elementen wiederverwendet wird.

Antwort

D · (i + 1) mod n
4.Datenstrukturen

Antwort: B · Pre-Order und In-Order

Warum das die Antwort ist

Pre-Order liefert die Wurzel, und ihre Position in der In-Order-Folge trennt linken und rechten Teilbaum; Pre-Order mit Post-Order ist mehrdeutig, wenn ein Knoten nur ein Kind hat.

Antwort

B · Pre-Order und In-Order
5.Graphentheorie

Antwort: k = 2

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

19 − 1 = 18

Zu entfernende Kanten

k = 20 − 18 = 2

Antwort

k = 2
6.Graphentheorie

Antwort: Kante DF

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Prim-Algorithmus

1. CE (1)
2. BE (2)
3. AC (3)
4. BD (6)
5. DF (5)

Kantennummer 5

DF

Antwort

Kante DF

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