Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Die Rekurrenz T(n) = 2T(n/2) + O(n) hat die Lösung:

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Das Halteproblem zeigt, dass:

  1. AJedes Programm irgendwann anhält
  2. BKein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält
  3. CManche Programme auf schnelleren Computern schneller laufen, das Anhalten also von der Hardware abhängt
  4. DSchleifen vermieden werden sollten
3.DatenstrukturenMittel

Welche Zeitkomplexität hat die Suche nach einem Schlüssel in einem balancierten binären Suchbaum?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
4.DatenstrukturenSchwer

Warum verwenden Datenbanken für Indizes oft B+-Bäume statt einfacher B-Bäume?

  1. AAlle Datensätze liegen in verketteten Blättern, was Bereichsscans effizient macht
  2. BB+-Bäume speichern Daten nur in der Wurzel
  3. CB+-Bäume verwenden binäre innere Knoten, was Festplattenzugriffe reduziert
  4. DB+-Bäume müssen nicht balanciert sein
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
161711911314ABCDE

Bestimme das Gesamtgewicht W eines minimalen aufspannenden Baums des gewichteten Graphen.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · O(n log n)

Warum das die Antwort ist

Nach dem Master-Theorem (a = 2, b = 2, f(n) = n) gilt T(n) = Θ(n log n).

Antwort

D · O(n log n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: B · Kein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält

Warum das die Antwort ist

Turing zeigte, dass das Halteproblem unentscheidbar ist: Die Annahme, ein Entscheider existiere, führt zu einem Widerspruch mit einem Programm, das das Gegenteil tut.

Antwort

B · Kein Algorithmus für jedes Programm und jede Eingabe entscheiden kann, ob es anhält
3.Datenstrukturen

Antwort: A · O(log n)

Warum das die Antwort ist

Ein balancierter Baum hat eine Höhe von etwa log₂ n, daher folgt eine Suche einem einzigen Pfad von der Wurzel zu einem Blatt.

Antwort

A · O(log n)
4.Datenstrukturen

Antwort: A · Alle Datensätze liegen in verketteten Blättern, was Bereichsscans effizient macht

Warum das die Antwort ist

In einem B+-Baum leiten innere Knoten nur die Suche, und die Blätter sind in Schlüsselreihenfolge verkettet; eine Bereichsabfrage findet also den ersten Schlüssel und läuft dann die Blätter entlang.

Antwort

A · Alle Datensätze liegen in verketteten Blättern, was Bereichsscans effizient macht
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Ungerade Knoten

0
Euler-Kreis

Antwort

Euler-Kreis
6.Graphentheorie

Antwort: W = 37

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Kruskal-Algorithmus

CE (1): nehmen
BD (9): nehmen
BC (11): nehmen
DE (13): überspringen, schließt einen Kreis
BE (14): überspringen, schließt einen Kreis
AB (16): nehmen

Gesamtgewicht

W = 1 + 9 + 11 + 16 = 37

Antwort

W = 37

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