Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Quicksort verwendet immer das erste Element als Pivot. Bei welcher Eingabe zeigt es sein Worst-Case-Verhalten?

  1. ABei einem Array, dessen Elemente alle verschieden sind
  2. BBei einem Array in zufälliger Reihenfolge
  3. CBei einem bereits sortierten Array
  4. DBei einem Array der Länge 2
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Warum ist eine Suche in einer Hashtabelle im Durchschnitt O(1), im Worst Case aber O(n)?

  1. AViele Schlüssel können im selben Bucket kollidieren
  2. BHashfunktionen sind langsam
  3. CSchlüssel müssen zuerst sortiert werden
  4. DArrays haben O(n) Zugriffszeit
3.DatenstrukturenMittel

Ein Trie (Präfixbaum) ist besonders effizient für:

  1. ADas Speichern von Matrizen
  2. BDas Sortieren von Zahlen
  3. CPräfixsuchen wie Autovervollständigung
  4. DDas Finden kürzester Wege
4.DatenstrukturenSchwer

Im BST mit Wurzel 50, linkem Teilbaum 30 (Kinder 20, 40) und rechtem Teilbaum 70 (Kinder 60, 80) wird die Wurzel mithilfe des In-Order-Nachfolgers gelöscht. Welcher Schlüssel wird die neue Wurzel?

  1. A70
  2. B40
  3. C60
  4. D80
5.GraphentheorieMittel

Ein zusammenhängender Graph hat 17 Knoten und 18 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?

|V| = 17|E| = 18
k =
6.GraphentheorieSchwer
1015315581387ABCDEFG

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Bei einem bereits sortierten Array

Warum das die Antwort ist

Bei sortierter Eingabe ist das Pivot immer das Minimum, sodass eine Seite leer ist und die andere n − 1 Elemente hat; das ergibt O(n²).

Antwort

C · Bei einem bereits sortierten Array
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Viele Schlüssel können im selben Bucket kollidieren

Warum das die Antwort ist

Mit einer guten Hashfunktion und einem passenden Füllgrad (Load Factor) bleiben Buckets im Durchschnitt kurz; gezielte Angriffe oder schlechtes Hashing können alle Schlüssel in einen Bucket legen.

Antwort

A · Viele Schlüssel können im selben Bucket kollidieren
3.Datenstrukturen

Antwort: C · Präfixsuchen wie Autovervollständigung

Warum das die Antwort ist

Tries speichern Zeichenketten Zeichen für Zeichen entlang von Pfaden, daher dauern Suchen und Präfixabfragen proportional zur Schlüssellänge.

Antwort

C · Präfixsuchen wie Autovervollständigung
4.Datenstrukturen

Antwort: C · 60

Warum das die Antwort ist

Der linkeste Knoten des rechten Teilbaums ist 60, also ersetzt 60 die 50 und seine alte Position wird entfernt; mit dem Vorgänger ergäbe sich 40.

Antwort

C · 60
5.Graphentheorie

Antwort: k = 2

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kanten eines aufspannenden Baums

17 − 1 = 16

Zu entfernende Kanten

k = 18 − 16 = 2

Antwort

k = 2
6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 21

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): C: 10
C (10): B: 25, E: 13, G: 23
E (13): D: 28, F: 21, G: 20
G (20)
F (21): D: 26
B (25)
D (26)

Kürzester Weg

A → C → E → F
d(F) = 21

Antwort

d(F) = 21

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