Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Aussage über eine rekursive Funktion ohne erreichbaren Basisfall ist richtig?

  1. ASie läuft in O(1) Zeit
  2. BDer Compiler wandelt sie immer in eine Schleife um, die sicher endet
  3. CSie gibt automatisch 0 zurück
  4. DSie ruft sich immer weiter selbst auf, bis der Aufrufstack überläuft
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Warum kann der Dijkstra-Algorithmus falsche Ergebnisse liefern, wenn einige Kantengewichte negativ sind?

  1. AEr funktioniert nur auf ungerichteten Graphen
  2. BEr gerät bei jeder negativen Kante in eine Endlosschleife
  3. CEin Knoten wird beim Entnehmen endgültig festgelegt, aber eine spätere negative Kante könnte ihm noch einen kürzeren Weg geben
  4. DNegative Zahlen können nicht in einer Prioritätswarteschlange gespeichert werden
3.DatenstrukturenMittel

Eine In-Order-Traversierung eines binären Suchbaums besucht die Schlüssel in:

  1. AAufsteigend sortierter Reihenfolge
  2. BEinfügereihenfolge
  3. CEbenenweiser Reihenfolge (Level-Order)
  4. DImmer absteigender Reihenfolge
4.DatenstrukturenSchwer

Wie hoch sind ohne Union by Rank und Pfadkompression die Kosten eines einzelnen find im schlechtesten Fall in einer Union-Find-Struktur mit n Elementen?

  1. AO(α(n))
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.GraphentheorieMittel

Ein Baum hat 4 Knoten vom Grad 3, 3 Knoten vom Grad 4, und alle seine anderen Knoten sind Blätter (Grad 1). Wie viele Blätter L hat er?

4 × deg 33 × deg 4
L =
6.GraphentheorieSchwer
37651958ABCDEF

Bestimme mit dem Dijkstra-Algorithmus die Länge d(F) des kürzesten Weges von A nach F im gewichteten Graphen.

Start: AZiel: F
d(F) =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Sie ruft sich immer weiter selbst auf, bis der Aufrufstack überläuft

Warum das die Antwort ist

Ohne Basisfall endet die Rekursion nie; in der Praxis geht der Speicher für die Stackframes aus, und das Programm stürzt ab.

Antwort

D · Sie ruft sich immer weiter selbst auf, bis der Aufrufstack überläuft
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · Ein Knoten wird beim Entnehmen endgültig festgelegt, aber eine spätere negative Kante könnte ihm noch einen kürzeren Weg geben

Warum das die Antwort ist

Der Greedy-Schritt beruht auf nichtnegativen Gewichten, damit entnommene Distanzen endgültig sind; bei möglicherweise negativen Gewichten verwendet man Bellman-Ford.

Antwort

C · Ein Knoten wird beim Entnehmen endgültig festgelegt, aber eine spätere negative Kante könnte ihm noch einen kürzeren Weg geben
3.Datenstrukturen

Antwort: A · Aufsteigend sortierter Reihenfolge

Warum das die Antwort ist

Wird erst der linke Teilbaum, dann der Knoten und dann der rechte Teilbaum besucht, werden die BST-Schlüssel sortiert ausgegeben.

Antwort

A · Aufsteigend sortierter Reihenfolge
4.Datenstrukturen

Antwort: B · O(n)

Warum das die Antwort ist

Naive Vereinigungen können Bäume zu einer langen Kette verbinden, sodass find n − 1 Elternzeigern folgen muss; die beiden Heuristiken bringen es nahe an konstante Kosten.

Antwort

B · O(n)
5.Graphentheorie

Antwort: L = 12

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Handschlaglemma für einen Baum

L + 24 = 2(L + 7) − 2
L = 12

Antwort

L = 12

Abkürzung: L = 2 + Σ (d − 2) über die Knoten mit Grad d ≥ 3.

6.Graphentheorie

Antwort: d(F) = 14

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

Jede Zeile: der abgeschlossene Knoten, sein endgültiger Abstand und die Nachbarn, deren Abstand sich verbessert.

A (0): B: 3, C: 7
B (3): D: 8, E: 11
C (7)
D (8): E: 9, F: 17
E (9): F: 14
F (14)

Kürzester Weg

A → B → D → E → F
d(F) = 14

Antwort

d(F) = 14

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