Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Was ist die Lösung der Rekursionsgleichung T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Schranke ist für log(n!) richtig?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(log n)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(n log n)
3.DatenstrukturenMittel

Was passiert, wenn eine Hashtabelle nach Überschreiten eines Füllgrad-Schwellenwerts ein Rehashing durchführt?

  1. ADie vorhandenen Schlüssel werden an Ort und Stelle sortiert
  2. BDie ältesten Schlüssel werden gelöscht, um Platz zu schaffen
  3. CNur die kollidierenden Schlüssel kommen in eine neue Überlaufliste am Ende der Tabelle
  4. DEine größere Tabelle wird angelegt und jeder Schlüssel neu eingefügt
4.DatenstrukturenSchwer

Wie hoch sind ohne Union by Rank und Pfadkompression die Kosten eines einzelnen find im schlechtesten Fall in einer Union-Find-Struktur mit n Elementen?

  1. AO(1)
  2. BO(α(n))
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
5.GraphentheorieMittel
ABCDEFGEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
14148115141168ABCDEFG

Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 5 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.

Start: ARunde 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: C · O(n)

Warum das die Antwort ist

Nach dem Master-Theorem dominiert nlog₂ 2 = n den konstanten Aufwand, also T(n) = Θ(n), wie beim Finden eines Maximums durch Halbieren.

Antwort

C · O(n)
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Θ(n log n)

Warum das die Antwort ist

log(n!) ≤ n log n, und die größten n / 2 Faktoren ergeben log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); deshalb braucht vergleichsbasiertes Sortieren Ω(n log n).

Antwort

D · Θ(n log n)
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Eine größere Tabelle wird angelegt und jeder Schlüssel neu eingefügt

Warum das die Antwort ist

Da der Index modulo der Tabellengröße berechnet wird, müssen alle Schlüssel in die neue, größere Tabelle neu gehasht werden; bei Verdopplung bleibt das amortisiert O(1).

Antwort

D · Eine größere Tabelle wird angelegt und jeder Schlüssel neu eingefügt
4.Datenstrukturen

Antwort: C · O(n)

Warum das die Antwort ist

Naive Vereinigungen können Bäume zu einer langen Kette verbinden, sodass find n − 1 Elternzeigern folgen muss; die beiden Heuristiken bringen es nahe an konstante Kosten.

Antwort

C · O(n)
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Weg, kein Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Ungerade Knoten

B, E → 2
Euler-Weg, kein Kreis

Antwort

Euler-Weg, kein Kreis

Der Euler-Weg beginnt an einem ungeraden Knoten und endet am anderen.

6.Graphentheorie

Antwort: G

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Dijkstra Runde für Runde

1. A (0): B: 14
2. B (14): D: 15, G: 28
3. D (15): E: 23, F: 16, G: 21
4. F (16)
5. G (21): C: 32
6. E (23): C: 27
7. C (27)

Runde 5

G

Antwort

G

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