Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Welche Laufzeit hat LSD-Radixsort für n ganze Zahlen mit d Ziffern zur Basis k?

  1. AO(d(n + k))
  2. BO(n log n)
  3. CO(dn log k)
  4. DO(n²)
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welche Aussage über P und NP ist korrekt?

  1. ALösungen von NP-Problemen lassen sich nicht schnell überprüfen
  2. BNP bedeutet „nicht polynomiell“
  3. CEs wurde bewiesen, dass P ≠ NP
  4. DJedes Problem in P liegt auch in NP
3.DatenstrukturenMittel

Ein Knoten in einem binären Suchbaum hat einen rechten Teilbaum. Wo liegt sein In-Order-Nachfolger?

  1. AImmer bei seinem Elternknoten
  2. BImmer bei seinem rechten Kind
  3. CAm rechtesten Knoten seines linken Teilbaums
  4. DAm linkesten Knoten seines rechten Teilbaums
4.DatenstrukturenSchwer

Warum wird in einer Hashtabelle mit offener Adressierung beim Löschen oft eine „Tombstone“-Markierung verwendet?

  1. ATombstones beschleunigen das Hashing
  2. BDadurch wird die Tabelle sortiert
  3. CGelöschte Schlüssel müssen aus Sicherheitsgründen für immer aufbewahrt werden, sodass Plätze nie wiederverwendet werden können
  4. DDas Leeren des Platzes könnte die Sondierungsfolge für andere Schlüssel unterbrechen
5.GraphentheorieMittel
ABCDEEuler-KreisEuler-Weg, kein Kreiskeines von beiden

Hat der zusammenhängende Graph einen Euler-Kreis, einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, oder keines von beiden? Klicke deine Antwort an.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Euler-Kreis
  2. 2Euler-Weg, kein Kreis
  3. 3keines von beiden
6.GraphentheorieSchwer
ABCDEF

Wie viele geschlossene Wege der Länge 2 beginnen und enden bei F? Ein Weg darf Knoten und Kanten wiederholen. Nenne die Zahl N.

M = AdjazenzmatrixL = 2
N =

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · O(d(n + k))

Warum das die Antwort ist

Jeder der d Durchläufe ist ein Countingsort mit Kosten O(n + k), also ist der Gesamtaufwand bei festen d und k linear in n.

Antwort

A · O(d(n + k))
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · Jedes Problem in P liegt auch in NP

Warum das die Antwort ist

P ⊆ NP: Wenn du ein Problem schnell lösen kannst, kannst du auch eine Lösung schnell überprüfen. Ob P = NP gilt, ist noch offen.

Antwort

D · Jedes Problem in P liegt auch in NP
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Am linkesten Knoten seines rechten Teilbaums

Warum das die Antwort ist

Alle größeren Schlüssel nahe am Knoten liegen in seinem rechten Teilbaum, und der kleinste davon ist dort der linkeste Knoten.

Antwort

D · Am linkesten Knoten seines rechten Teilbaums
4.Datenstrukturen

Antwort: D · Das Leeren des Platzes könnte die Sondierungsfolge für andere Schlüssel unterbrechen

Warum das die Antwort ist

Würde ein gelöschter Platz leer, könnten spätere Suchen zu früh abbrechen und Schlüssel übersehen, die weiter hinten in der Sondierungskette abgelegt wurden.

Antwort

D · Das Leeren des Platzes könnte die Sondierungsfolge für andere Schlüssel unterbrechen
5.Graphentheorie

Antwort: Euler-Kreis

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Ungerade Knoten

0
Euler-Kreis

Antwort

Euler-Kreis
6.Graphentheorie

Antwort: N = 1

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. Kn hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Adjazenzmatrix

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Gemeinsame Nachbarn

(M²)FF = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 1

Antwort

N = 1

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