Algorithmen und Datenstrukturen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Graphentheorie

Handschlaglemma
Σ deg(v) = 2|E|
Vollständige Graphen
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Regulärer Graph
|E| = n·k/2
Baum und Wald
|E| = n − 1, |E| = n − c
Blätter eines Baums
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
Kreis: alle Grade gerade; Weg: genau 2 ungerade Grade
Hamilton-Kreise in Kn
(n − 1)!/2
Dijkstra-Aktualisierung
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Wege der Länge L
(Mᴸ)ij

Methode

  1. Schreibe den Grad jedes Knotens auf; die Grade summieren sich zum Doppelten der Kantenzahl.
  2. Prüfe bei Euler-Aufgaben, ob der Graph zusammenhängend ist, und zähle die Knoten mit ungeradem Grad.
  3. Verwende bei Bäumen n − 1 Kanten und das Handschlaglemma.
  4. Führe bei Dijkstra eine Tabelle der vorläufigen Abstände und schließe in jeder Runde den kleinsten noch offenen Knoten ab.
  5. Sortiere für einen minimalen aufspannenden Baum die Kanten nach Gewicht und überspringe jede Kante, die einen Kreis schließt (Kruskal), oder lass einen Baum von einem Startknoten aus wachsen (Prim).

2Übungsaufgaben

1.Algorithmen & KomplexitätMittel

Wie viele Ebenen hat die Rekursion von Mergesort bei einem Array mit n Elementen?

  1. AEtwa log₂ n
  2. BEtwa √n
  3. CEtwa n / 2
  4. DEtwa n
2.Algorithmen & KomplexitätSchwer

Welches dieser Erfüllbarkeitsprobleme ist bekanntermaßen in polynomieller Zeit lösbar?

  1. A3-SAT, bei dem jede Klausel genau drei Literale hat
  2. BAllgemeines SAT für Formeln in konjunktiver Normalform
  3. CSchaltkreis-Erfüllbarkeit
  4. D2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat
3.DatenstrukturenMittel

Mit welcher Datenstruktur prüft man, ob die Klammern in "{[()]}" ausgeglichen sind?

  1. AMit einer Hashtabelle
  2. BMit einer Queue
  3. CMit einem binären Suchbaum
  4. DMit einem Stack
4.DatenstrukturenSchwer

Welches Problem des linearen Sondierens verringert Double Hashing vor allem?

  1. ADie Notwendigkeit, Schlüssel in der Tabelle zu speichern
  2. BDie Notwendigkeit einer Hashfunktion
  3. CPrimäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen
  4. DDie O(n)-Kosten beim Lesen des Werts zu einem Schlüssel
5.GraphentheorieMittel

Wie viele verschiedene Hamilton-Kreise H hat der vollständige Graph K7? Kreise, die sich nur im Startknoten oder in der Richtung unterscheiden, zählen als gleich.

K7
H =
6.GraphentheorieSchwer
17458157161021314ABCDEFG

Der Prim-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, beginnend bei Knoten C. Klicke die Kante an, die er als Kante Nummer 6 hinzufügt.

Start: Ck = 6
  1. 1Kante AB
  2. 2Kante AC
  3. 3Kante BC
  4. 4Kante BD
  5. 5Kante CE
  6. 6Kante DF
  7. 7Kante EF
  8. 8Kante GB
  9. 9Kante GC
  10. 10Kante GD
  11. 11Kante GE

3Lösungen

1.Algorithmen & Komplexität

Antwort: A · Etwa log₂ n

Warum das die Antwort ist

Das Halbieren von n bis auf 1 dauert etwa log₂ n Ebenen, und jede Ebene leistet O(n) Merge-Aufwand, das ergibt O(n log n).

Antwort

A · Etwa log₂ n
2.Algorithmen & Komplexität

Antwort: D · 2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat

Warum das die Antwort ist

2-SAT liegt in P (lineare Zeit über starke Zusammenhangskomponenten), während 3-SAT NP-vollständig ist.

Antwort

D · 2-SAT, bei dem jede Klausel höchstens zwei Literale hat
3.Datenstrukturen

Antwort: D · Mit einem Stack

Warum das die Antwort ist

Lege jede öffnende Klammer mit push ab und hole bei einer schließenden Klammer mit pop eine heraus; sie muss zur entnommenen Klammer passen, und am Ende muss der Stack leer sein.

Antwort

D · Mit einem Stack
4.Datenstrukturen

Antwort: C · Primäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen

Warum das die Antwort ist

Lineares Sondieren geht in Schritten von 1, daher wachsen belegte Folgen und verschmelzen; Double Hashing nutzt einen zweiten Hash für die Schrittweite, sodass verschiedene Schlüssel verschiedene Folgen sondieren.

Antwort

C · Primäre Clusterbildung, bei der lange Folgen belegter Plätze entstehen
5.Graphentheorie

Antwort: H = 360

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Zählen

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Antwort

H = 360
6.Graphentheorie

Antwort: Kante GE

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

Prim-Algorithmus

1. GC (2)
2. AC (4)
3. BC (5)
4. BD (8)
5. DF (7)
6. GE (14)

Kantennummer 6

GE

Antwort

Kante GE

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