Differentialgleichungen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Differentialgleichungen

Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halbwertszeit: k = ln 2 / t_½
Newtonsches Abkühlungsgesetz: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrierender Faktor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mischbehälter: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrale

Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für e^x, 1/x, sin und cos.
Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).

Ableitungen

Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotientenregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettenregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Wichtige Ableitungen: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Erkenne die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
Wende die Potenzregel auf jede Potenz von x an.
Verwende bei Bedarf Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel.
Vereinfache und werte an der Stelle aus, falls verlangt.

Numerische Verfahren

Bisektion: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton-Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineare Interpolation: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Fehlerschranke der Trapezregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.

2Übungsaufgaben

1.DifferentialgleichungenMittel

Eine Tasse Kaffee mit 92 °C steht in einem Raum mit 21 °C. Nach 7 min beträgt die Temperatur 79 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wie lange nach dem Start, t, dauert es, bis 86 °C erreicht sind?

T₀ = 92 °CT_a = 21 °CT(7) = 79 °CT = 86 °C

t = min

2.DifferentialgleichungenSchwer

Löse das Anfangswertproblem y′ + 3y/x = 2x für x > 0 mit y(1) = −1. Bestimme y(2).

y′ + 3y/x = 2xy(1) = −1

y(2) =

3.IntegraleMittel

Berechne I = ∫₁⁵ x·ln x dx.

∫₁⁵ x ln x dx

I =

4.IntegraleSchwer

Bestimme die Fläche A zwischen der Parabel y = 4 − x² und der x-Achse.

y = 4 − x²

A =

5.AbleitungenMittel

Gegeben ist f(x) = ln(x² + 2). Bestimme f′(1).

f(x) = ln(x² + 2)x = 1

f′(1) =

6.AbleitungenSchwer

Gegeben ist f(x) = x³ − 12x² + 36x − 6. Bestimme die x-Koordinate x des lokalen Minimums.

f(x) = x³ − 12x² + 36x − 6

x =

7.Numerische VerfahrenMittel

Nähere ∫₀² sin x dx mit der Simpson-Regel, n = 2, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |S − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]n = 2

|E| =

8.Numerische VerfahrenSchwer

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,1 für y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5, um y₂ ≈ y(0,2) zu schätzen.

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,1

y₂ =

3Lösungen

1.Differentialgleichungen

Antwort: t = 3,056 min

Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·e^kt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.

Abkühlungskonstante

k = ln(71/58)/7 = 0,02889 min⁻¹

Zeit bis zum Zielwert

t = ln(71/65)/0,02889 = 3,056 min

Antwort

t = 3,056 min

2.Differentialgleichungen

Antwort: y(2) = 1,425

Integrierender Faktor

μ = e^{∫3/x dx} = x³

Integrieren

(x³y)′ = 2x⁴ → x³y = 2x⁵/5 + C

Anfangsbedingung

−1 = 2/5 + C → C = −1,4

Auswerten

y(2) = (2·2⁵/5 + (−1,4))/2³ = 1,425

Antwort

y(2) = 1,425

3.Integrale

Antwort: I = 14,12

Partielle Integration: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, aus der Produktregel. Wähle u als den Faktor, der beim Ableiten einfacher wird (eine Potenz von x oder ln x), und dv als den Faktor, den du integrieren kannst (eˣ, sin x, cos x oder x, wenn u = ln x). Werte bei einem bestimmten Integral u·v an beiden Grenzen aus: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Ein Faktor x² braucht zwei Runden.

u und dv wählen

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Stammfunktion

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Grenzwerte

(12,5·ln 5 − 6,25) − (0 − 0,25) = 14,12

Antwort

I = 14,12

4.Integrale

Antwort: A = 10,67

Bestimmte Integrale: ∫ₐᵇ f(x) dx ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse von a bis b. Finde eine Stammfunktion F (mit F′ = f) und berechne F(b) − F(a). Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫(obere − untere) dx.

Nullstellen

4 − x² = 0 → x = ±2

Integrieren

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Antwort

A = 10,67

5.Ableitungen

Antwort: f′(1) = 0,6667

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Kettenregel für den Logarithmus

f′(x) = 2x/(x² + 2)

Einsetzen

f′(1) = 2/3 = 0,6667

Antwort

f′(1) = 0,6667

6.Ableitungen

Antwort: x = 6

Ableitung

f′(x) = 3x² − 24x + 36 = 3·(x² − 8x + 12)

f′(x) = 0 lösen

x = 2 oder x = 6

Welches ist welches

f″(x) = 6x − 24: negativ an einem Maximum, positiv an einem Minimum.

f″(2) = −12, f″(6) = 12

x = 6

Antwort

x = 6

7.Numerische Verfahren

Antwort: |E| = 0,008914

Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.

Exakter Wert

I = 1,416147

Simpson-Regel

S = (1/3)·(0 + 4·0,841471 + 0,909297) = 1,42506

Fehler

|E| = |1,42506 − 1,416147| = 0,008914

Antwort

|E| = 0,008914

Relativer Fehler: 0,6294 %.

8.Numerische Verfahren

Antwort: y₂ = 0,6638

Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.

Heun-Schritte

y₁ = 0,5 + (0,1/2)(0,75 + 0,819375) = 0,578469

y₂ = 0,578469 + (0,1/2)(0,822311 + 0,884875) = 0,663828

Diagramm

y₂ = 0,6638

Antwort

y₂ = 0,6638

Der exakte Wert ist y(0,2) = 0,66424.

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