Differentialgleichungen: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Differentialgleichungen

Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halbwertszeit: k = ln 2 / t_½
Newtonsches Abkühlungsgesetz: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrierender Faktor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mischbehälter: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integrale

Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für e^x, 1/x, sin und cos.
Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).

Ableitungen

Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotientenregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettenregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Wichtige Ableitungen: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Erkenne die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
Wende die Potenzregel auf jede Potenz von x an.
Verwende bei Bedarf Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel.
Vereinfache und werte an der Stelle aus, falls verlangt.

Numerische Verfahren

Bisektion: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton-Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Lineare Interpolation: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Fehlerschranke der Trapezregel: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Methode

Bei einer Nullstelle: Prüfe den Vorzeichenwechsel für die Bisektion oder berechne f und f′ für Newton, und behalte sechs oder mehr Stellen in einer Tabelle der Iterierten.
Für einen Tabellenwert: Interpoliere linear zwischen den beiden benachbarten Punkten.
Für ein Integral: Bestimme h = (b − a)/n, liste f an jedem Knoten auf, wende die Gewichte an (1, 2, …, 2, 1 für Trapez; 1, 4, 2, …, 4, 1 für Simpson mit geradem n) und multipliziere mit h/2 bzw. h/3.
Für eine Differentialgleichung: Gehe von t₀ aus mit yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) oder der gemittelten Steigung (Heun) schrittweise vor, eine Zeile pro Schritt, bis du das gesuchte t erreichst.

2Übungsaufgaben

1.DifferentialgleichungenMittel

Eine Tasse Kaffee mit 85 °C steht in einem Raum mit 22 °C. Nach 26 min beträgt die Temperatur 25 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.

T₀ = 85 °CT_a = 22 °CT(26) = 25 °C

k = min⁻¹

2.DifferentialgleichungenSchwer

Ein Behälter enthält 400 L Wasser, in dem 5 kg Salz gelöst sind. Salzlösung mit 0,2 kg Salz pro Liter fließt mit 10 L/min zu, und die gut durchmischte Lösung fließt mit derselben Rate ab. Nach wie vielen Minuten t enthält der Behälter 43 kg Salz?

V = 400 Lm₀ = 5 kgc = 0,2 kg/Lr = 10 L/min

t = min

3.IntegraleMittel

Berechne I = ∫₀¹ e^2x dx.

f(x) = e^2x[0, 1]

I =

4.IntegraleSchwer

Bestimme die Fläche A des Gebiets, das von y = 2x² und y = x eingeschlossen wird.

y = 2x²y = x

A =

5.AbleitungenMittel

Gegeben ist f(x) = (4x + 1)⁵. Bestimme f′(0).

f(x) = (4x + 1)⁵x = 0

f′(0) =

6.AbleitungenSchwer

Gegeben ist f(x) = x³ + 6x² + 4. Bestimme die x-Koordinate x des lokalen Maximums.

f(x) = x³ + 6x² + 4

x =

7.Numerische VerfahrenMittel

Die Trapezregel wird für ∫₀¹ sin x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0005 garantiert.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 0,0005

n =

8.Numerische VerfahrenSchwer

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,5 für y′ = t − y, y(0) = 3, um y₂ ≈ y(1) zu schätzen.

y′ = t − yy(0) = 3h = 0,5

y₂ =

3Lösungen

1.Differentialgleichungen

Antwort: k = 0,1171 min⁻¹

Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·e^kt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.

Verhältnis der Temperaturdifferenzen

e^−26k = 3/63

Nach k auflösen

k = ln(63/3)/26 = 0,1171 min⁻¹

Antwort

k = 0,1171 min⁻¹

2.Differentialgleichungen

Antwort: t = 28,26 min

Ergebnis

m(t) = 80 + (−75)·e^−t/40

Nach t auflösen

e^−t/40 = (80 − 43)/(80 − 5) = 0,4933

t = 40·ln(2,027) = 28,26 min

Antwort

t = 28,26 min

3.Integrale

Antwort: I = 3,195

Bestimmte Integrale: ∫ₐᵇ f(x) dx ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse von a bis b. Finde eine Stammfunktion F (mit F′ = f) und berechne F(b) − F(a). Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫(obere − untere) dx.

Stammfunktion

F(x) = e^2x/2

An den Grenzen auswerten

I = (e² − 1)/2 = (7,389 − 1)/2 = 3,195

Antwort

I = 3,195

4.Integrale

Antwort: A = 0,04167

Schnittpunkte

2x² = x → x = 0, x = 0,5

Obere minus untere integrieren

A = [0,5x² − 0,6667x³]₀^0,5 = 0,04167

Antwort

A = 0,04167

5.Ableitungen

Antwort: f′(0) = 20

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Kettenregel

f′(x) = 5·(4x + 1)⁴·4

Einsetzen

f′(0) = 5·1⁴·4 = 20

Antwort

f′(0) = 20

6.Ableitungen

Antwort: x = −4

Ableitung

f′(x) = 3x² + 12x = 3·(x² + 4x)

f′(x) = 0 lösen

x = −4 oder x = 0

Welches ist welches

f″(x) = 6x + 12: negativ an einem Maximum, positiv an einem Minimum.

f″(−4) = −12, f″(0) = 12

x = −4

Antwort

x = −4

7.Numerische Verfahren

Antwort: n = 12

Numerische Integration: Teile [a, b] in n Streifen der Breite h = (b − a)/n mit den Knoten x₀ … xₙ. Trapezregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpson-Regel (n gerade): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Der Fehler der Trapezregel schrumpft wie h² (Schranke (b − a)h²·M/12 mit M = max|f″|), der der Simpson-Regel wie h⁴, daher ist Simpson bei denselben Knoten meist weit genauer.

Schranke für die zweite Ableitung

M = sin 1 = 0,8415

Nach n auflösen

n² > 1·0,8415/(12·0,0005) = 140,2

n > 11,84 → n = 12

Antwort

n = 12

8.Numerische Verfahren

Antwort: y₂ = 1,563

Numerische Lösung von y′ = f(t, y): Das Euler-Verfahren geht entlang der Steigung am Anfang jedes Schritts: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mittelt die Steigung am Anfang und an einer Euler-Vorhersage: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) kombiniert vier Steigungen: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Der globale Fehler ist beim Euler-Verfahren proportional zu h, beim Heun-Verfahren zu h², beim RK4 zu h⁴.

Heun-Schritte

y₁ = 3 + (0,5/2)(−3 − 1) = 2

y₂ = 2 + (0,5/2)(−1,5 − 0,25) = 1,5625

Diagramm

y₂ = 1,563

Antwort

y₂ = 1,563

Der exakte Wert ist y(1) = 1,471518.

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