Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Schreibe −6 als 8-Bit-Muster im Zweierkomplement. Lies das Muster als vorzeichenlose Binärzahl: Welchen Wert U hat es im Dezimalsystem?
Ein unkomprimiertes Bild hat 512 × 512 Pixel mit 32 Bits pro Pixel. Wie viel Speicher M braucht es in KiB (1 KiB = 1024 Bytes)?
Bestimme mit dem Karnaugh-Diagramm die minimale Summe von Produkten (SOP) von F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 6, 9, 11, 13, 14, 15). Wie viele Literale L enthält sie insgesamt (eine Variable mit Strich zählt als ein Literal)?
Bestimme die minimale SOP-Form von F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 5, 13) + d(1, 6, 9), wobei d die Don’t-Care-Bedingungen kennzeichnet. Wie viele Produktterme N hat sie?
Ein Recorder tastet 2 Kanäle mit je 1 kHz mit einem 10-Bit-ADC ab. Jeder Abtastwert wird in ganzen Bytes gespeichert. Bestimme den Speicher M, der für eine Aufzeichnung von 30 min nötig ist, in MB (1 MB = 10⁶ Bytes).
Eine Audiomessung braucht ein ideales Signal-Quantisierungsrausch-Verhältnis von mindestens 70 dB für eine vollausgesteuerte Sinuswelle. Bestimme die kleinste Anzahl an ADC-Bits N.
Antwort: U = 250
Stellenwertsysteme: Jede Ziffer ist ihren Wert mal eine Potenz der Basis wert. Im Binärsystem sind die Stellen 1, 2, 4, 8, 16, … wert, im Hexadezimalsystem 1, 16, 256, …, wobei A–F für 10–15 stehen. Im 8-Bit-Zweierkomplement ist das linke Bit −128 statt +128 wert; so werden negative Zahlen gespeichert.
Antwort: M = 1024 KiB
Stellenwertsysteme: Jede Ziffer ist ihren Wert mal eine Potenz der Basis wert. Im Binärsystem sind die Stellen 1, 2, 4, 8, 16, … wert, im Hexadezimalsystem 1, 16, 256, …, wobei A–F für 10–15 stehen. Im 8-Bit-Zweierkomplement ist das linke Bit −128 statt +128 wert; so werden negative Zahlen gespeichert.
Antwort: L = 11
Karnaugh-Diagramme: Die Felder sind im Gray-Code (00, 01, 11, 10) angeordnet, benachbarte Felder, auch die über den Rand hinweg, unterscheiden sich also in genau einer Variablen. Fasse die Einsen in Rechtecken aus 1, 2, 4, 8 oder 16 Feldern zusammen, so groß und so wenige wie möglich, bis jede 1 abgedeckt ist. Jede Gruppe ist ein Produktterm: die Variablen, die in ihr konstant bleiben. Eine Gruppe aus 2ᵏ Feldern verliert k Variablen. Don’t-Cares (X) dürfen genutzt werden, um Gruppen zu vergrößern, müssen aber nie abgedeckt werden. Fasst du stattdessen die Nullen zusammen, erhältst du die minimale POS-Form.
Jede Gruppe ist ein Rechteck aus 2ᵏ Feldern; Randfelder sind Nachbarn der Felder am gegenüberliegenden Rand.
Es gibt eine weitere Gruppierung derselben Größe; sie hat dieselbe Anzahl von Termen und Literalen.
Antwort: N = 3
Karnaugh-Diagramme: Die Felder sind im Gray-Code (00, 01, 11, 10) angeordnet, benachbarte Felder, auch die über den Rand hinweg, unterscheiden sich also in genau einer Variablen. Fasse die Einsen in Rechtecken aus 1, 2, 4, 8 oder 16 Feldern zusammen, so groß und so wenige wie möglich, bis jede 1 abgedeckt ist. Jede Gruppe ist ein Produktterm: die Variablen, die in ihr konstant bleiben. Eine Gruppe aus 2ᵏ Feldern verliert k Variablen. Don’t-Cares (X) dürfen genutzt werden, um Gruppen zu vergrößern, müssen aber nie abgedeckt werden. Fasst du stattdessen die Nullen zusammen, erhältst du die minimale POS-Form.
Die größten Gruppen, die sich aus Einsen und X bilden lassen.
Es gibt eine weitere Gruppierung derselben Größe; sie hat dieselbe Anzahl von Termen und Literalen.
Antwort: M = 7,2 MB
Datenraten: Jeder Kanal liefert fs Abtastwerte pro Sekunde mit je N Bits, die rohe Rate beträgt also Kanäle × fs × N bit/s. Im Speicher belegt ein Abtastwert ganze Bytes (ein 12-Bit-Wert wird in 2 Bytes gespeichert), der Speicher für eine Aufzeichnung beträgt also Kanäle × fs × Bytes pro Abtastwert × Zeit. Ein gemultiplexter ADC wandelt die Kanäle nacheinander: Jede Wandlung (mit Einschwingen) dauert t, eine Runde über n Kanäle dauert also n·t, und jeder Kanal wird mit 1/(n·t) abgetastet.
Antwort: N = 12
ADC-Auflösung: Ein N-Bit-Umsetzer teilt seinen Vollaussteuerbereich VFSR in 2ᴺ Codes, von 0 bis 2ᴺ − 1. Ein Schritt ist 1 LSB = VFSR/2ᴺ: die kleinste Änderung, die der Umsetzer anzeigen kann. Ein abschneidender ADC liefert den Code ⌊Vin/LSB⌋; ein rundender ADC liegt nie mehr als ½ LSB vom wahren Wert entfernt, das ist sein Quantisierungsfehler. Jedes zusätzliche Bit halbiert das LSB und erhöht das ideale Signal-Quantisierungsrausch-Verhältnis SQNR = 6,02·N + 1,76 dB für einen vollausgesteuerten Sinus um etwa 6 dB. Um eine Auflösung r über einer Spanne zu erreichen, wähle das kleinste N mit 2ᴺ ≥ Spanne/r.
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