Digitaltechnik: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zahlensysteme

Stellenwerte: binär 2^k, oktal 8^k, hex 16^k
Ins Dezimalsystem: Σ d_k·b^k
Aus dem Dezimalsystem: durch die Basis teilen, die Reste von unten nach oben lesen
Hex ↔ binär: eine Hex-Ziffer = 4 Bits
Zweierkomplement: die Bits invertieren und 1 addieren

Digitaltechnik: Gatter, Karnaugh-Diagramme & Flipflops

Grundgatter: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Boolesche Regeln: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgan: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Reihenfolge im Karnaugh-Diagramm: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Gruppe aus 2ᵏ Feldern: verliert k Variablen
4-zu-1-Multiplexer: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Flipflops: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Zähler: n Bit: 2ⁿ Zustände; Mod-N: kleinstes n mit 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Asynchronzähler: f_max = 1/(n·t_pd)
Ring- und Johnson-Zähler: n und 2n Zustände

Methode

Gehe bei einer Schaltung von den Eingängen zum Ausgang vor, ein Gatter nach dem anderen, und schreibe den Wert an jede Leitung, oder schreibe ihren Ausdruck auf und fülle die Wahrheitstabelle aus.
Trage zum Vereinfachen die Einsen (und die Don’t-Cares als X) in ein Karnaugh-Diagramm mit Zeilen und Spalten im Gray-Code ein: 00, 01, 11, 10.
Decke die Einsen mit möglichst wenigen und möglichst großen Gruppen aus 1, 2, 4, 8 oder 16 Feldern ab, auch über den Rand hinweg; jede Gruppe ist ein Produktterm aus den Variablen, die konstant bleiben. Fasse für die POS-Form die Nullen zusammen.
Lies bei Flipflops und Zählern die Eingänge an jeder aktiven Taktflanke ab, schreibe den Zustand nach jeder Flanke auf und denke daran, dass ein n-Bit-Zähler nach 2ⁿ Zuständen überläuft.

Messdatenerfassung und Abtastung

Nyquist-Kriterium: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Alias-Frequenz: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Schrittweite: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Quantisierungsfehler (Runden): ±½ LSB
ADC-Code bei Abschneiden: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits für eine Auflösung r: 2ᴺ ≥ span/r
Ideales SQNR, Sinus mit Vollaussteuerung: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datenrate: Kanäle × f_s × N bit/s
Gemultiplexter ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/Baudrate; 8N1 = 10 Bit pro Byte; Byte/s = Baudrate/Bits pro Frame
Baudraten-Teiler: baud = f_clk/(16·D)

Methode

Schreibe auf, was gegeben ist: Abtastrate, Signalfrequenzen, Bitanzahl, Eingangsbereich, Baudrate.
Vergleiche bei Abtastaufgaben jede Frequenz mit f_s/2; eine höhere Frequenz erscheint bei f_a = |f − k·f_s| mit dem nächstgelegenen Vielfachen von f_s.
Bestimme bei Auflösungsaufgaben 1 LSB = V_FSR/2ᴺ oder das kleinste N mit 2ᴺ ≥ Spanne/Auflösung.
Zähle bei Datenraten und UART-Verbindungen alles, was gesendet wird: Kanäle, Abtastwerte pro Sekunde, Bits oder ganze Bytes pro Abtastwert sowie Start-, Paritäts- und Stoppbits jedes Frames.

2Übungsaufgaben

1.ZahlensystemeMittel

Schreibe −15 als 8-Bit-Muster im Zweierkomplement. Lies das Muster als vorzeichenlose Binärzahl: Welchen Wert U hat es im Dezimalsystem?

N = −158 bit

U =

2.ZahlensystemeSchwer

Was ist die größte vorzeichenlose ganze Zahl N, die in 12 Bits passt?

12 bit

N =

3.Digitaltechnik: Gatter, Karnaugh-Diagramme & FlipflopsMittel

Ein 4-zu-1-Multiplexer hat die Auswahleingänge S₁ = A und S₀ = B, und seine Dateneingänge liegen auf I₀ = C, I₁ = 1, I₂ = 0, I₃ = C. Für wie viele der 8 Kombinationen von A, B und C ist der Ausgang F = 1? Bestimme N.

I₀ = CI₁ = 1I₂ = 0I₃ = C

N =

4.Digitaltechnik: Gatter, Karnaugh-Diagramme & FlipflopsSchwer

Ein Mod-24-Zähler muss 24 verschiedene Zustände durchlaufen. Wie viele Flipflops n braucht er mindestens?

N = 24

n =

5.Messdatenerfassung und AbtastungMittel

Eine Sinuswelle mit 14 kHz wird ohne Anti-Aliasing-Filter mit 10 kHz abgetastet. Bei welcher Frequenz f_a erscheint sie in den Abtastwerten? Gib sie in kHz an.

f = 14 kHzf_s = 10 kHz

f_a = kHz

6.Messdatenerfassung und AbtastungSchwer

Ein 12-Bit-ADC streamt jeden Abtastwert über einen UART mit 230400 Baud im Format 8E1 (Startbit, 8 Datenbits, gerade Parität, 1 Stoppbit). Jeder Abtastwert wird als 2 ganze(s) Byte(s) gesendet, und die Verbindung ist dauernd belegt. Bestimme die höchste Signalfrequenz f_max, die ohne Aliasing abgetastet werden kann, in Hz.

baud = 230400 BdN = 128E1

f_max = Hz

3Lösungen

1.Zahlensysteme

Antwort: U = 241

Stellenwertsysteme: Jede Ziffer ist ihren Wert mal eine Potenz der Basis wert. Im Binärsystem sind die Stellen 1, 2, 4, 8, 16, … wert, im Hexadezimalsystem 1, 16, 256, …, wobei A–F für 10–15 stehen. Im 8-Bit-Zweierkomplement ist das linke Bit −128 statt +128 wert; so werden negative Zahlen gespeichert.

Invertieren und eins addieren

15 = 0000 1111

invertiert: 1111 0000

+1 → 1111 0001

Vorzeichenlos lesen

1111 0001₂ = 256 − 15 = 241

Antwort

U = 241

2.Zahlensysteme

Antwort: N = 4095

Größter Wert

2¹² − 1 = 4095

Antwort

N = 4095

3.Digitaltechnik: Gatter, Karnaugh-Diagramme & Flipflops

Antwort: N = 4

Multiplexer: Ein 2ⁿ-zu-1-Multiplexer schaltet einen seiner Dateneingänge auf den Ausgang durch; die als Binärzahl gelesenen Auswahlleitungen bestimmen, welchen. Bei einem 4-zu-1-MUX mit den Auswahleingängen S₁S₀ = AB gilt F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. Legt man die Dateneingänge auf 0, 1, C oder C′, erzeugt der MUX jede Funktion von A, B und C, was ein gängiger Weg ist, Logik mit einem Baustein aufzubauen.

Ausgangsausdruck

F = A′B′C + A′B + ABC

Zeilen mit F = 1

ABC = 001, 010, 011, 111

N = 4

Antwort

N = 4

4.Digitaltechnik: Gatter, Karnaugh-Diagramme & Flipflops

Antwort: n = 5

Flipflops und Zähler: Ein Flipflop ändert sich nur bei der aktiven Taktflanke. D übernimmt seinen Eingang (Q⁺ = D); T kippt bei T = 1; JK hält bei 00, setzt bei 01 zurück, setzt bei 10 und kippt bei 11. Ein n-Bit-Binärzähler hat 2ⁿ Zustände und zählt modulo 2ⁿ; ein Mod-N-Zähler läuft 0, 1, …, N − 1 und wieder auf 0 und braucht die kleinste Anzahl n von Flipflops mit 2ⁿ ≥ N. Jede Stufe eines Asynchronzählers halbiert die Frequenz, daher läuft der letzte Ausgang eines Mod-N-Zählers mit f_clk/N. Ein Johnson-Zähler aus n Flipflops hat 2n Zustände, ein Ringzähler n.

Anzahl der Flipflops

2ⁿ ≥ 24 → n = 5 (2⁵ = 32)

Antwort

n = 5

5.Messdatenerfassung und Abtastung

Antwort: f_a = 4 kHz

Abtastung: Ein ADC misst das Signal f_s-mal pro Sekunde. Nach dem Nyquist-Shannon-Theorem wird eine Frequenz f nur dann korrekt erfasst, solange f < f_s/2 gilt, der Nyquist-Frequenz (Faltungsfrequenz); die Abtastrate muss also größer sein als das Doppelte der höchsten Signalfrequenz. Eine höhere Frequenz geht nicht verloren: Sie erscheint als Alias bei f_a = |f − k·f_s|, wobei die ganze Zahl k das Ergebnis in den Bereich zwischen 0 und f_s/2 bringt. Die Abtastwerte können beide nicht unterscheiden, daher muss ein analoges Anti-Aliasing-Filter vor dem ADC alles oberhalb von f_s/2 entfernen.

Nyquist-Frequenz

f_s/2 = 5 kHz < f = 14 kHz

Nächstes Vielfaches der Abtastrate

k = round(14/10) = 1

Alias-Frequenz

f_a = |14 − 1·10| = 4 kHz

Antwort

f_a = 4 kHz

Die gestrichelte Kurve in der Abbildung ist der Alias: Sie verläuft genau durch dieselben Abtastwerte.

6.Messdatenerfassung und Abtastung

Antwort: f_max = 5236 Hz

UART: Eine asynchrone serielle Verbindung sendet jedes Byte als Frame: ein Startbit (low), die Datenbits, ein optionales Paritätsbit und ein oder zwei Stoppbits (high). Die Baudrate ist die Anzahl der Bits pro Sekunde, ein Bit dauert also T_b = 1/Baudrate und ein Frame aus n Bits dauert n/Baudrate. Das übliche 8N1-Format hat 10 Bits pro Byte. Der Baudratengenerator teilt den Takt: Baudrate = f_clk/(16·D) mit einer ganzen Zahl D, sodass die tatsächliche Baudrate leicht vom Sollwert abweicht; ein Fehler unter etwa 2 % ist meist akzeptabel.

Bits pro Abtastwert auf der Leitung

2·11 = 22 bit

Höchste Abtastrate

f_s,max = 230400/22 = 10473 Hz

Nyquist-Grenze

f_max = 10473/2 = 5236 Hz

Antwort

f_max = 5236 Hz

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