Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 6 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Setze die Bits so, dass sie −24 im 8-Bit-Zweierkomplement speichern. Welchen Wert U hat das Muster, wenn man es als vorzeichenlose Zahl liest?
Ein System muss jedem von 1605 Elementen einen eigenen Binärcode gleicher Länge geben. Wie viele Bits b braucht es mindestens?
Bestimme mit dem Karnaugh-Diagramm die minimale Summe von Produkten (SOP) von F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 13). Wie viele Literale L enthält sie insgesamt (eine Variable mit Strich zählt als ein Literal)?
Bestimme für F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 4, 6, 9, 15) + d(8, 11), wobei d die Don’t-Care-Bedingungen kennzeichnet, die Anzahl N der wesentlichen Primimplikanten.
Eine Sinuswelle mit 4,4 kHz wird ohne Anti-Aliasing-Filter mit 4 kHz abgetastet. Bei welcher Frequenz fa erscheint sie in den Abtastwerten? Gib sie in Hz an.
Ein 10-Bit-ADC streamt jeden Abtastwert über einen UART mit 57600 Baud im Format 8E1 (Startbit, 8 Datenbits, gerade Parität, 1 Stoppbit). Jeder Abtastwert wird als 2 ganze(s) Byte(s) gesendet, und die Verbindung ist dauernd belegt. Bestimme die höchste Signalfrequenz fmax, die ohne Aliasing abgetastet werden kann, in Hz.
Antwort: U = 232
Bits setzen: Jedes Bit hat den Wert einer Zweierpotenz (128, 64, …, 1). Eine Hexadezimalziffer entspricht genau vier Bits, und im 8-Bit-Zweierkomplement hat das linke Bit den Wert −128. Bitweise Operationen wirken auf jede Bitposition einzeln.
Antwort: b = 11 bit
Stellenwertsysteme: Jede Ziffer ist ihren Wert mal eine Potenz der Basis wert. Im Binärsystem sind die Stellen 1, 2, 4, 8, 16, … wert, im Hexadezimalsystem 1, 16, 256, …, wobei A–F für 10–15 stehen. Im 8-Bit-Zweierkomplement ist das linke Bit −128 statt +128 wert; so werden negative Zahlen gespeichert.
Antwort: L = 6
Karnaugh-Diagramme: Die Felder sind im Gray-Code (00, 01, 11, 10) angeordnet, benachbarte Felder, auch die über den Rand hinweg, unterscheiden sich also in genau einer Variablen. Fasse die Einsen in Rechtecken aus 1, 2, 4, 8 oder 16 Feldern zusammen, so groß und so wenige wie möglich, bis jede 1 abgedeckt ist. Jede Gruppe ist ein Produktterm: die Variablen, die in ihr konstant bleiben. Eine Gruppe aus 2ᵏ Feldern verliert k Variablen. Don’t-Cares (X) dürfen genutzt werden, um Gruppen zu vergrößern, müssen aber nie abgedeckt werden. Fasst du stattdessen die Nullen zusammen, erhältst du die minimale POS-Form.
Jede Gruppe ist ein Rechteck aus 2ᵏ Feldern; Randfelder sind Nachbarn der Felder am gegenüberliegenden Rand.
Antwort: N = 3
Karnaugh-Diagramme: Die Felder sind im Gray-Code (00, 01, 11, 10) angeordnet, benachbarte Felder, auch die über den Rand hinweg, unterscheiden sich also in genau einer Variablen. Fasse die Einsen in Rechtecken aus 1, 2, 4, 8 oder 16 Feldern zusammen, so groß und so wenige wie möglich, bis jede 1 abgedeckt ist. Jede Gruppe ist ein Produktterm: die Variablen, die in ihr konstant bleiben. Eine Gruppe aus 2ᵏ Feldern verliert k Variablen. Don’t-Cares (X) dürfen genutzt werden, um Gruppen zu vergrößern, müssen aber nie abgedeckt werden. Fasst du stattdessen die Nullen zusammen, erhältst du die minimale POS-Form.
Die größten Gruppen, die sich aus Einsen und X bilden lassen.
Antwort: fa = 400 Hz
Abtastung: Ein ADC misst das Signal fs-mal pro Sekunde. Nach dem Nyquist-Shannon-Theorem wird eine Frequenz f nur dann korrekt erfasst, solange f < fs/2 gilt, der Nyquist-Frequenz (Faltungsfrequenz); die Abtastrate muss also größer sein als das Doppelte der höchsten Signalfrequenz. Eine höhere Frequenz geht nicht verloren: Sie erscheint als Alias bei fa = |f − k·fs|, wobei die ganze Zahl k das Ergebnis in den Bereich zwischen 0 und fs/2 bringt. Die Abtastwerte können beide nicht unterscheiden, daher muss ein analoges Anti-Aliasing-Filter vor dem ADC alles oberhalb von fs/2 entfernen.
Die gestrichelte Kurve in der Abbildung ist der Alias: Sie verläuft genau durch dieselben Abtastwerte.
Antwort: fmax = 1309 Hz
UART: Eine asynchrone serielle Verbindung sendet jedes Byte als Frame: ein Startbit (low), die Datenbits, ein optionales Paritätsbit und ein oder zwei Stoppbits (high). Die Baudrate ist die Anzahl der Bits pro Sekunde, ein Bit dauert also Tb = 1/Baudrate und ein Frame aus n Bits dauert n/Baudrate. Das übliche 8N1-Format hat 10 Bits pro Byte. Der Baudratengenerator teilt den Takt: Baudrate = fclk/(16·D) mit einer ganzen Zahl D, sodass die tatsächliche Baudrate leicht vom Sollwert abweicht; ein Fehler unter etwa 2 % ist meist akzeptabel.
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