Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 20 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Ein Auto, das mit konstant 26 m/s zu schnell fährt, passiert ein stehendes Polizeiauto. In diesem Moment fährt das Polizeiauto los und beschleunigt gleichmäßig mit 6 m/s². Wie weit von seinem Startpunkt entfernt holt das Polizeiauto auf? Bestimme d.
Ball A wird aus der Ruhe aus 55 m Höhe fallen gelassen. Im selben Moment wird Ball B direkt darunter vom Boden mit 24 m/s senkrecht nach oben geworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². In welcher Höhe y über dem Boden treffen sie sich?
Ein Block mit 7 kg gleitet eine schiefe Ebene mit 25° Neigung hinunter. Der Gleitreibungskoeffizient ist 0,15. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Beschleunigung a des Blocks entlang der Ebene.
Zwei Klötze auf einem ebenen Boden sind durch einen leichten waagerechten Faden verbunden. Eine waagerechte Kraft von 80 N zieht den vorderen Klotz mit 10 kg; der Klotz mit 11 kg wird hinterhergezogen. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt für beide Klötze 0,15. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Fadenkraft T im Verbindungsfaden.
Ein Ball wird von ebenem Boden mit 12 m/s unter 40° zur Horizontalen auf eine 9 m entfernte Wand zu geschossen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². In welcher Höhe y passiert der Ball die Wand?
Ein Ball wird unter 55° zur Horizontalen von der Kante einer 5 m hohen Klippe abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand. Bestimme die Flugzeit t, bis der Ball auf dem Boden aufkommt.
Ein Straßenbauingenieur möchte, dass Autos eine Kurve mit dem Radius 120 m bei 40 km/h ohne Reibung durchfahren können. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Überhöhungswinkel θ.
Eine Kugel mit 0,3 kg an einem leichten Faden von 0,9 m Länge wird auf einer senkrechten Kreisbahn herumgeschwungen. Am tiefsten Punkt beträgt ihre Geschwindigkeit 12 m/s. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Fadenkraft Ttop am höchsten Punkt.
Eine Kugel mit 10 kg hängt an einem leichten Faden der Länge 2 m. Sie wird ausgelenkt, bis der Faden 90° mit der Vertikalen bildet, und aus der Ruhe losgelassen. Bestimme die Fadenkraft T, wenn die Kugel den tiefsten Punkt durchläuft.
Ein Block mit 1 kg wird auf einer glatten Rampe in 3 m Höhe aus der Ruhe losgelassen. Unten überquert er einen rauen, waagerechten Streifen von 2,5 m Länge (μ = 0,2) und läuft dann auf einer glatten Fläche gegen eine Feder (k = 1500 N/m). Bestimme die Geschwindigkeit v des Blocks, wenn er die Feder erreicht.
Ein Gleiter mit 3,5 kg und 12 m/s stößt auf einer reibungsfreien Bahn vollkommen elastisch und zentral mit einem ruhenden Gleiter mit 2 kg zusammen. Bestimme die Geschwindigkeit v′1 des ersten Gleiters nach dem Stoß (positiv in seiner ursprünglichen Richtung).
Ein Auto mit 1000 kg fährt auf ein parkendes Auto mit 1200 kg auf. Die Wracks verhaken sich und rutschen 25 m, bevor sie stehen bleiben. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße beträgt 0,6. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Geschwindigkeit v1 des ersten Autos direkt vor dem Zusammenstoß.
Ein homogener dünner Stab der Masse 8,5 kg und der Länge 1,9 m ist an einem Ende gelagert und wird aus der Ruhe in waagerechter Lage losgelassen. Vernachlässige die Reibung und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Winkelgeschwindigkeit ω des Stabes, wenn er durch die senkrechte Lage schwingt.
Ein Körper (Hohlkugel) rollt ohne Gleiten eine Schräge hinab, die um 10° gegen die Waagerechte geneigt ist. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Beschleunigung a seines Schwerpunkts.
Ein Riemen läuft auf einer treibenden Scheibe mit 160 mm bei 1440 rpm. Die Zugkraft beträgt 1200 N im Lasttrum und 480 N im Leertrum. Bestimme die übertragene Leistung P in kW.
In einem Planetengetriebe hat das Sonnenrad 18 Zähne und jedes Planetenrad 20 Zähne. Der Planetenträger wird festgehalten, und das Sonnenrad wird mit 1500 rpm angetrieben. Bestimme die Drehzahl nr des Hohlrads (Betrag).
Ein Fadenpendel hat eine Länge von 1,7 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme seine Periodendauer T für kleine Auslenkungen.
Eine Masse von 3,4 kg an einer Feder mit k = 330 N/m wird um 14 cm aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Bestimme die Gesamtenergie E der Schwingung.
Beim Ausschwingversuch an einem gedämpften Feder-Masse-System folgt auf einen Auslenkungsscheitel von 30 mm 5 Perioden später ein Scheitel von 11,7 mm. Bestimme den Dämpfungsgrad ζ.
Eine Masse von 10 kg hängt an der Feder k₃ = 15 kN/m. Das obere Ende von k₃ ist an einem starren Balken befestigt, der an zwei nebeneinander angeordneten Federn hängt, k₁ = 60 kN/m und k₂ = 100 kN/m; der Balken bleibt waagerecht. Vernachlässige die Dämpfung und die Massen von Federn und Balken. Bestimme die Eigenfrequenz fn der vertikalen Schwingung in Hz.
Antwort: d = 225,3 m
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.
In diesem Moment fährt das Polizeiauto mit 2v = 52 m/s.
Antwort: y = 29,24 m
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.
Nach oben ist positiv, der Boden ist y = 0.
Antwort: a = 2,812 m/s²
Zweites Newtonsches Gesetz: Die resultierende Kraft auf einen Körper ist gleich seiner Masse mal seiner Beschleunigung, ΣF = m·a. Zeichne ein Freikörperbild, wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung und addiere alle Kräfte in dieser Richtung: angreifende Kräfte, die Reibung μ·N entgegen der Bewegung und die Komponenten der Gewichtskraft.
Hangabwärts ist positiv.
Antwort: T = 41,9 N
Zweites Newtonsches Gesetz: Die resultierende Kraft auf einen Körper ist gleich seiner Masse mal seiner Beschleunigung, ΣF = m·a. Zeichne ein Freikörperbild, wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung und addiere alle Kräfte in dieser Richtung: angreifende Kräfte, die Reibung μ·N entgegen der Bewegung und die Komponenten der Gewichtskraft.
Bei gleichem μ für beide Klötze fällt die Reibung heraus: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Antwort: y = 2,85 m
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
An der Wand ist der Ball bereits auf dem Weg nach unten.
Antwort: t = 3,777 s
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant; die vertikale Bewegung hat eine konstante Beschleunigung g = 9,81 m/s² nach unten.
Löse y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 nach der positiven Wurzel auf.
Antwort: θ = 5,987 °
Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.
Antwort: Ttop = 33,28 N
Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.
Kinetische Energie wird über eine Höhe 2r in potenzielle Energie umgewandelt.
Fadenkraft und Schwerkraft zeigen beide nach unten, zum Mittelpunkt.
Antwort: T = 294,3 N
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d). Auf einer Kreisbahn muss die resultierende Kraft zum Mittelpunkt gleich mv²/r sein.
Probe: T = mg(3 − 2cos θ) = 294,3 N.
Antwort: v = 7,004 m/s
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).
Die Rampe ist glatt, also nimmt nur der Streifen Energie weg.
Antwort: v′1 = 3,273 m/s
Impulserhaltung: Wirkt während eines Stoßes keine äußere Kraft, ist der Gesamtimpuls Σm·v vorher gleich dem Gesamtimpuls nachher. Geschwindigkeiten haben eine Richtung: Wähle eine positive Richtung und gib Geschwindigkeiten in Gegenrichtung ein Minuszeichen. Beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten; beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften.
Löst man Impuls- und Energieerhaltung gemeinsam, ergeben sich diese beiden Ergebnisse.
Antwort: v1 = 37,74 m/s
Impulserhaltung: Wirkt während eines Stoßes keine äußere Kraft, ist der Gesamtimpuls Σm·v vorher gleich dem Gesamtimpuls nachher. Geschwindigkeiten haben eine Richtung: Wähle eine positive Richtung und gib Geschwindigkeiten in Gegenrichtung ein Minuszeichen. Beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten; beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften.
Antwort: ω = 3,936 rad/s
Drehung um eine feste Achse: Die Summe der Momente um die Achse ist gleich I·α (ΣM = I·α), genau wie ΣF = m·a bei der Translation. In Energieform verrichtet ein Drehmoment T, das um einen Winkel θ (im Bogenmaß) dreht, die Arbeit T·θ, die die kinetische Energie ½·I·ω² ändert; die Schwerkraft fügt die Energie m·g·Δh des Schwerpunkts hinzu oder entzieht sie. Die Leistung ist P = T·ω.
Antwort: a = 1,022 m/s²
Rollen und Drehimpuls: Ein Körper, der ohne Gleiten rollt, hat v = ω·r, seine kinetische Energie ist also ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Auf einer Schräge ergibt das a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Wenn um eine Achse kein äußeres Moment wirkt, bleibt der Drehimpuls um diese Achse konstant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, auch wenn kinetische Energie verloren geht.
Antwort: P = 8,686 kW
Riemenantriebe: Ohne Schlupf haben beide Scheiben dieselbe Umfangsgeschwindigkeit v = π·d·n/60, also n₁·d₁ = n₂·d₂, und das Übersetzungsverhältnis ist d₂/d₁. Schlupf s macht die getriebene Scheibe etwas langsamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Die übertragene Leistung ist P = (T₁ − T₂)·v, mit der Zugkraft T₁ im Lasttrum und T₂ im Leertrum. Die Reibung begrenzt das Verhältnis der Zugkräfte: T₁/T₂ = eμθ, wobei θ der Umschlingungswinkel im Bogenmaß an der kleineren Scheibe ist; für einen offenen Riemen gilt θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) mit dem Achsabstand C.
Antwort: nr = 465,5 rpm
Planetengetriebe: Die Drehzahlen von Sonnenrad, Hohlrad und Planetenträger sind über die Willis-Gleichung (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns verknüpft: Vom Planetenträger aus gesehen ist es ein gewöhnliches Rädergetriebe mit den Planeten als Zwischenrädern. Hält man ein Glied fest, wird daraus ein Getriebe mit einer festen Übersetzung.
Mit nc = 0 treibt das Sonnenrad das Hohlrad über die Planeten an, die als Zwischenräder wirken.
Das Hohlrad dreht sich entgegen dem Sonnenrad.
Antwort: T = 2,616 s
Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².
Antwort: E = 3,234 J
Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².
Antwort: ζ = 0,02996
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Antwort: fn = 5,894 Hz
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Nur k1 und k2 liegen parallel. Dieses Paar liegt in Reihe mit k3, also addiere die Kehrwerte.
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