Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 20 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Ein Auto, das mit 60 km/h fährt, bremst mit einer konstanten Verzögerung von 6,5 m/s² bis zum Stillstand. Bestimme den Bremsweg s.
Ein Ball wird von der Kante eines Dachs 35 m über dem Boden mit 9 m/s senkrecht nach oben geworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Wie lange nach dem Abwurf trifft er auf den Boden? Bestimme t.
Ein Block mit 2 kg gleitet eine schiefe Ebene mit 35° Neigung hinunter. Der Gleitreibungskoeffizient ist 0,2. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Beschleunigung a des Blocks entlang der Ebene.
Ein Klotz mit 7 kg auf einer Rampe mit 30° Neigung ist über einen leichten Faden und eine reibungsfreie Rolle am oberen Ende der Rampe mit einer hängenden Masse von 9,5 kg verbunden. Die hängende Masse bewegt sich nach unten. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Klotz und Rampe beträgt 0,15. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Beschleunigung a des Systems.
Ein Ball wird unter 40° zur Horizontalen vom ebenen Boden abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand. Bestimme die horizontale Entfernung x, die der Ball zurücklegt, bevor er auf dem Boden aufkommt.
Ein Ball wird unter 55° zur Horizontalen von der Kante einer 20 m hohen Klippe abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand. Bestimme die Flugzeit t, bis der Ball auf dem Boden aufkommt.
Ein Auto fährt durch eine ebene Kurve mit dem Radius 45 m. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße ist 0,7. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die größte Geschwindigkeit vmax, mit der das Auto die Kurve durchfahren kann, ohne zu rutschen.
Ein Ball mit 1,6 kg an einer 1,2 m langen Schnur wird auf einem vertikalen Kreis herumgeschleudert. Am tiefsten Punkt bewegt er sich mit 6 m/s. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Seilkraft T in der Schnur am tiefsten Punkt.
Ein Block mit 2,5 kg rutscht 9 m eine Schräge mit 30° Neigung hinunter, bei einem Gleitreibungskoeffizienten von 0,3. Bestimme die gegen die Reibung verrichtete Arbeit Wf.
Ein Block mit 2 kg startet aus der Ruhe am Fuß einer Schräge mit 20° Neigung und wird durch eine konstante Kraft von 20 N parallel zur Schräge hinaufgezogen. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt 0,25. Bestimme die Geschwindigkeit v des Blocks, nachdem er sich 7 m die Schräge hinaufbewegt hat.
Ein Gleiter mit 3,5 kg und 11 m/s stößt auf einer reibungsfreien Bahn vollkommen elastisch und zentral mit einem ruhenden Gleiter mit 5 kg zusammen. Bestimme die Geschwindigkeit v′2 des zweiten Gleiters nach dem Stoß.
Ein Auto mit 1500 kg fährt auf ein parkendes Auto mit 1100 kg auf. Die Wracks verhaken sich und rutschen 9 m, bevor sie stehen bleiben. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße beträgt 0,75. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Geschwindigkeit v1 des ersten Autos direkt vor dem Zusammenstoß.
Ein homogener dünner Stab der Masse 12 kg und der Länge 1,4 m ist an einem Ende gelagert und waagerecht festgehalten. Er wird aus der Ruhe losgelassen. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die vertikale Kraft R, die das Lager unmittelbar nach dem Loslassen auf den Stab ausübt.
Ein Körper (dünner Reifen) rollt ohne Gleiten eine Schräge hinab, die um 25° gegen die Waagerechte geneigt ist. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den kleinsten Haftreibungskoeffizienten μs, der das Gleiten verhindert.
Ein Motor mit 1,5 kW und 2900 rpm treibt ein Ritzel mit 24 Zähnen an, das mit einem Rad mit 72 Zähnen kämmt. Das Zahnradpaar hat einen Wirkungsgrad von 95 %. Bestimme das Abtriebsdrehmoment T2 an der Radwelle.
In einem mehrstufigen Zahnradgetriebe treibt Rad A (18 Zähne) auf der Antriebswelle mit 1450 rpm das Rad B (45 Zähne) an. Rad C (25 Zähne) sitzt fest auf derselben Welle wie B und treibt Rad D (45 Zähne) auf der Abtriebswelle an. Bestimme die Abtriebsdrehzahl nout.
Eine Astronautin stellt auf einem anderen Planeten fest, dass ein Fadenpendel von 0,5 m Länge bei kleinen Auslenkungen eine Periodendauer von 2,31 s hat. Bestimme die Fallbeschleunigung g auf diesem Planeten.
Eine Masse von 1,7 kg an einer Feder mit k = 430 N/m wird um 13 cm aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Bestimme ihre maximale Geschwindigkeit vmax.
Eine Masse von 150 kg an einer Feder mit einer Steifigkeit von 100 kN/m hat einen viskosen Dämpfer, der einen Dämpfungsgrad von 0,3 ergibt. Bestimme die gedämpfte Eigenfrequenz fd ihrer freien Schwingung in Hz.
Eine Masse von 5 kg hängt an der Feder k₃ = 100 kN/m. Das obere Ende von k₃ ist an einem starren Balken befestigt, der an zwei nebeneinander angeordneten Federn hängt, k₁ = 100 kN/m und k₂ = 5 kN/m; der Balken bleibt waagerecht. Vernachlässige die Dämpfung und die Massen von Federn und Balken. Bestimme die Eigenfrequenz fn der vertikalen Schwingung in Hz.
Antwort: s = 21,37 m
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.
Antwort: t = 3,742 s
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.
Nach oben ist positiv, und der Boden liegt h₀ unter dem Startpunkt.
Nur die positive Lösung ist physikalisch sinnvoll.
Antwort: a = 4,02 m/s²
Zweites Newtonsches Gesetz: Die resultierende Kraft auf einen Körper ist gleich seiner Masse mal seiner Beschleunigung, ΣF = m·a. Zeichne ein Freikörperbild, wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung und addiere alle Kräfte in dieser Richtung: angreifende Kräfte, die Reibung μ·N entgegen der Bewegung und die Komponenten der Gewichtskraft.
Hangabwärts ist positiv.
Antwort: a = 3,027 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Antwort: x = 102,8 m
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant; die vertikale Bewegung hat eine konstante Beschleunigung g = 9,81 m/s² nach unten.
Abwurf und Landung auf gleicher Höhe: t = 2vy/g.
Antwort: t = 4,849 s
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant; die vertikale Bewegung hat eine konstante Beschleunigung g = 9,81 m/s² nach unten.
Löse y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 nach der positiven Wurzel auf.
Antwort: vmax = 17,58 m/s
Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.
Antwort: T = 63,7 N
Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.
Zum Mittelpunkt hin (nach oben) ist positiv.
Antwort: Wf = 57,35 J
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).
Antwort: v = 7,795 m/s
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).
Antwort: v′2 = 9,059 m/s
Impulserhaltung: Wirkt während eines Stoßes keine äußere Kraft, ist der Gesamtimpuls Σm·v vorher gleich dem Gesamtimpuls nachher. Geschwindigkeiten haben eine Richtung: Wähle eine positive Richtung und gib Geschwindigkeiten in Gegenrichtung ein Minuszeichen. Beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten; beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften.
Löst man Impuls- und Energieerhaltung gemeinsam, ergeben sich diese beiden Ergebnisse.
Antwort: v1 = 19,95 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Antwort: R = 29,43 N
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Im Moment des Loslassens ist ω = 0, es gibt also keine Zentripetalbeschleunigung, und der Schwerpunkt beschleunigt senkrecht nach unten.
R = m·g/4, unabhängig von der Länge.
Antwort: μs = 0,2332
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Antwort: T2 = 14,08 N·m
Zahnradgetriebe: Kämmende Zahnräder haben an den Zähnen dieselbe Geschwindigkeit, also n₁·N₁ = n₂·N₂: Das Rad mit weniger Zähnen dreht schneller. Räder auf derselben Welle drehen gleich schnell. Die Leistung wird (abzüglich der Verluste) weitergegeben, daher steigt das Drehmoment, wenn die Drehzahl sinkt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, und P = T·ω mit ω = 2π·n/60.
Antwort: nout = 322,2 rpm
Zahnradgetriebe: Kämmende Zahnräder haben an den Zähnen dieselbe Geschwindigkeit, also n₁·N₁ = n₂·N₂: Das Rad mit weniger Zähnen dreht schneller. Räder auf derselben Welle drehen gleich schnell. Die Leistung wird (abzüglich der Verluste) weitergegeben, daher steigt das Drehmoment, wenn die Drehzahl sinkt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, und P = T·ω mit ω = 2π·n/60.
Gesamtübersetzung = 4,5 : 1
Antwort: g = 3,699 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Antwort: vmax = 2,068 m/s
Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².
Antwort: fd = 3,92 Hz
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Antwort: fn = 16,11 Hz
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Nur k1 und k2 liegen parallel. Dieses Paar liegt in Reihe mit k3, also addiere die Kehrwerte.
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