Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 20 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Ein Auto, das mit 100 km/h fährt, bremst mit einer konstanten Verzögerung von 3 m/s² bis zum Stillstand. Bestimme den Bremsweg s.
Ein Stein wird aus der Ruhe in einen Brunnen fallen gelassen. Das Aufklatschen ist 3,6 s nach dem Loslassen zu hören. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 343 m/s; vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Tiefe d des Brunnens.
Eine Kiste gleitet mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 4,5 m/s über einen ebenen Boden und kommt nach 10 m zur Ruhe. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Gleitreibungskoeffizienten μ.
Zwei Klötze auf einem ebenen Boden sind durch einen leichten waagerechten Faden verbunden. Eine waagerechte Kraft von 55 N zieht den vorderen Klotz mit 6 kg; der Klotz mit 2 kg wird hinterhergezogen. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt für beide Klötze 0,3. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Fadenkraft T im Verbindungsfaden.
Ein Ball wird unter 70° zur Horizontalen vom ebenen Boden abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand. Bestimme die maximale Höhe H, die der Ball erreicht.
Ein Ball wird vom Boden aus mit 15 m/s unter 70° zur Horizontalen geworfen. Er landet auf dem Weg nach unten auf dem Flachdach eines 2 m hohen Gebäudes. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den waagerechten Abstand x vom Abwurfpunkt bis zum Landepunkt.
Ein Auto fährt durch eine ebene Kurve mit dem Radius 75 m. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße ist 0,5. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die größte Geschwindigkeit vmax, mit der das Auto die Kurve durchfahren kann, ohne zu rutschen.
Ein Ball mit 0,3 kg an einer 1 m langen Schnur wird auf einem vertikalen Kreis herumgeschleudert. Am tiefsten Punkt bewegt er sich mit 4 m/s. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Seilkraft T in der Schnur am tiefsten Punkt.
Ein Block mit 0,5 kg rutscht 18 m eine Schräge mit 40° Neigung hinunter, bei einem Gleitreibungskoeffizienten von 0,3. Bestimme die gegen die Reibung verrichtete Arbeit Wf.
Ein Block mit 2 kg startet aus der Ruhe am Fuß einer Schräge mit 30° Neigung und wird durch eine konstante Kraft von 30 N parallel zur Schräge hinaufgezogen. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt 0,2. Bestimme die Geschwindigkeit v des Blocks, nachdem er sich 5 m die Schräge hinaufbewegt hat.
Ein Geschoss mit 10 kg, das sich waagerecht mit 12 m/s bewegt, explodiert in zwei Bruchstücke, die sich entlang derselben Linie bewegen. Das Bruchstück mit 3 kg fliegt mit 48 m/s nach vorn weiter. Bestimme die Geschwindigkeit v′2 des Bruchstücks mit 7 kg (positiv in der ursprünglichen Richtung).
Ein Auto mit 900 kg fährt auf ein parkendes Auto mit 900 kg auf. Die Wracks verhaken sich und rutschen 10,5 m, bevor sie stehen bleiben. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße beträgt 0,6. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Geschwindigkeit v1 des ersten Autos direkt vor dem Zusammenstoß.
Ein homogener dünner Stab der Masse 20 kg und der Länge 0,7 m ist an einem Ende gelagert und waagerecht festgehalten. Er wird aus der Ruhe losgelassen. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme seine Winkelbeschleunigung α unmittelbar nach dem Loslassen.
Eine homogene Vollscheibe (Masse 23 kg, Radius 0,2 m) dreht sich frei mit 700 rpm um eine senkrechte reibungsfreie Welle. Ein dünner Ring der Masse 14 kg und desselben Radius wird aus der Ruhe zentriert auf die Welle fallen gelassen, und beide drehen sich schnell gemeinsam. Bestimme ihre gemeinsame Drehzahl n2 in rpm.
Eine Scheibe mit 150 mm bei 1440 rpm treibt über einen Riemen mit 4 % Schlupf eine Scheibe mit 400 mm an. Bestimme die Drehzahl n2 der getriebenen Scheibe.
In einem Planetengetriebe hat das Sonnenrad 15 Zähne und jedes Planetenrad 12 Zähne. Das Hohlrad wird festgehalten, und das Sonnenrad wird mit 600 rpm angetrieben. Bestimme die Drehzahl nc des Planetenträgers.
Wie lang muss ein Fadenpendel sein, damit es eine Periodendauer von 2,2 s hat? Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme L.
Ein Geschoss mit 8 g und 100 m/s trifft einen Klotz mit 1 kg, der auf einer reibungsfreien Fläche liegt, und bleibt darin stecken. Der Klotz ist an einer waagerechten Feder mit k = 700 N/m befestigt. Bestimme die Amplitude A der entstehenden Schwingung in cm.
Eine Masse von 100 kg wird von einer Feder mit einer Steifigkeit von 200 kN/m und einem viskosen Dämpfer mit einer Dämpfungskonstante von 3580 N·s/m getragen. Bestimme den Dämpfungsgrad ζ.
Eine Masse von 40 kg hängt an zwei hintereinander (in Reihe) geschalteten Federn: Die obere Feder hat k₁ = 5 kN/m, die untere k₂ = 5 kN/m. Bestimme die Ersatzsteifigkeit keq des Federsystems in kN/m.
Antwort: s = 128,6 m
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.
Antwort: d = 57,76 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Nur die positive Lösung ist physikalisch sinnvoll.
Antwort: μ = 0,1032
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Antwort: T = 13,75 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Bei gleichem μ für beide Klötze fällt die Reibung heraus: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Antwort: H = 4,501 m
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant; die vertikale Bewegung hat eine konstante Beschleunigung g = 9,81 m/s² nach unten.
Am höchsten Punkt ist die vertikale Geschwindigkeit null: vy² = 2gH.
Antwort: x = 13,97 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Größere Lösung: Der Ball sinkt.
Antwort: vmax = 19,18 m/s
Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.
Antwort: T = 7,743 N
Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.
Zum Mittelpunkt hin (nach oben) ist positiv.
Antwort: Wf = 20,29 J
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).
Antwort: v = 9,163 m/s
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).
Antwort: v′2 = −3,429 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Das Minuszeichen bedeutet, dass das zweite Bruchstück nach hinten fliegt.
Antwort: v1 = 22,24 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Antwort: α = 21,02 rad/s²
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Im Moment des Loslassens ist ω = 0, es gibt also keine Zentripetalbeschleunigung, und der Schwerpunkt beschleunigt senkrecht nach unten.
Antwort: n2 = 315,7 rpm
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Antwort: n2 = 518,4 rpm
Riemenantriebe: Ohne Schlupf haben beide Scheiben dieselbe Umfangsgeschwindigkeit v = π·d·n/60, also n₁·d₁ = n₂·d₂, und das Übersetzungsverhältnis ist d₂/d₁. Schlupf s macht die getriebene Scheibe etwas langsamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Die übertragene Leistung ist P = (T₁ − T₂)·v, mit der Zugkraft T₁ im Lasttrum und T₂ im Leertrum. Die Reibung begrenzt das Verhältnis der Zugkräfte: T₁/T₂ = eμθ, wobei θ der Umschlingungswinkel im Bogenmaß an der kleineren Scheibe ist; für einen offenen Riemen gilt θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) mit dem Achsabstand C.
Antwort: nc = 166,7 rpm
Planetengetriebe: Die Drehzahlen von Sonnenrad, Hohlrad und Planetenträger sind über die Willis-Gleichung (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns verknüpft: Vom Planetenträger aus gesehen ist es ein gewöhnliches Rädergetriebe mit den Planeten als Zwischenrädern. Hält man ein Glied fest, wird daraus ein Getriebe mit einer festen Übersetzung.
Setze nr = 0 und löse nach der Drehzahl des Planetenträgers auf.
Der Planetenträger dreht sich in dieselbe Richtung wie das Sonnenrad.
Antwort: L = 1,203 m
Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².
Antwort: A = 3,012 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Antwort: ζ = 0,4003
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, also ist das System unterkritisch gedämpft und schwingt beim Abklingen.
Antwort: keq = 2,5 kN/m
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Federn in Reihe übertragen dieselbe Kraft, und ihre Wege addieren sich, daher werden die Kehrwerte addiert: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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