Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 20 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Ein Auto, das mit 72 km/h fährt, bremst mit einer konstanten Verzögerung von 3,5 m/s² bis zum Stillstand. Bestimme den Bremsweg s.
Ein Ball wird von der Kante eines Dachs 40 m über dem Boden mit 17 m/s senkrecht nach oben geworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Wie lange nach dem Abwurf trifft er auf den Boden? Bestimme t.
Eine Kiste gleitet mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 11,5 m/s über einen ebenen Boden und kommt nach 22 m zur Ruhe. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Gleitreibungskoeffizienten μ.
Zwei Klötze auf einem ebenen Boden sind durch einen leichten waagerechten Faden verbunden. Eine waagerechte Kraft von 115 N zieht den vorderen Klotz mit 11 kg; der Klotz mit 1 kg wird hinterhergezogen. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt für beide Klötze 0,1. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Beschleunigung a der Klötze.
Ein Ball wird von ebenem Boden mit 34 m/s unter 45° zur Horizontalen auf eine 24 m entfernte Wand zu geschossen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². In welcher Höhe y passiert der Ball die Wand?
Ein Ball wird mit 14 m/s unter 45° zur Horizontalen von der Kante einer 50 m hohen Klippe abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die größte Höhe H über dem Boden am Fuß der Klippe.
Ein Auto fährt durch eine ebene Kurve mit dem Radius 65 m. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße ist 0,4. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die größte Geschwindigkeit vmax, mit der das Auto die Kurve durchfahren kann, ohne zu rutschen.
Ein Ball mit 0,2 kg an einer 0,5 m langen Schnur wird auf einem vertikalen Kreis herumgeschleudert. Am tiefsten Punkt bewegt er sich mit 3 m/s. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Seilkraft T in der Schnur am tiefsten Punkt.
Eine Kugel mit 2 kg hängt an einem leichten Faden der Länge 3 m. Sie wird ausgelenkt, bis der Faden 40° mit der Vertikalen bildet, und aus der Ruhe losgelassen. Bestimme die Fadenkraft T, wenn die Kugel den tiefsten Punkt durchläuft.
Ein Block mit 8 kg startet aus der Ruhe am Fuß einer Schräge mit 25° Neigung und wird durch eine konstante Kraft von 95 N parallel zur Schräge hinaufgezogen. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt 0,2. Bestimme die Geschwindigkeit v des Blocks, nachdem er sich 10 m die Schräge hinaufbewegt hat.
Ein Gleiter mit 3,5 kg und 5 m/s stößt auf einer reibungsfreien Bahn vollkommen elastisch und zentral mit einem ruhenden Gleiter mit 3 kg zusammen. Bestimme die Geschwindigkeit v′1 des ersten Gleiters nach dem Stoß (positiv in seiner ursprünglichen Richtung).
Ein Ball mit 0,45 kg trifft mit 8 m/s auf eine Wand und prallt mit 6 m/s gerade zurück. Der Kontakt dauert 25 ms. Bestimme die mittlere Kraft Favg der Wand auf den Ball.
Ein Motor liefert ein Drehmoment von 1870 N·m bei 2900 rpm. Bestimme seine Ausgangsleistung P in kW.
Ein homogener dünner Stab der Masse 6 kg und der Länge 1,7 m hängt in Ruhe an einem reibungsfreien Drehpunkt an seinem oberen Ende. Ein Geschoss von 35 g, das sich waagerecht mit 520 m/s bewegt, trifft den Stab 0,93 m unter dem Drehpunkt und bleibt stecken. Bestimme die Winkelgeschwindigkeit ω des Stabes unmittelbar nach dem Stoß.
Ein Motor mit 1,1 kW und 2900 rpm treibt eine Schnecke mit 4 Gang/Gängen an. Das Schneckenrad hat 50 Zähne, und der Wirkungsgrad des Getriebes beträgt 75 %. Bestimme das Abtriebsdrehmoment Tw an der Welle des Schneckenrads.
In einem mehrstufigen Zahnradgetriebe treibt Rad A (60 Zähne) auf der Antriebswelle mit 960 rpm das Rad B (72 Zähne) an. Rad C (15 Zähne) sitzt fest auf derselben Welle wie B und treibt Rad D (40 Zähne) auf der Abtriebswelle an. Bestimme die Abtriebsdrehzahl nout.
Eine Masse von 0,8 kg an einer Feder mit k = 250 N/m schwingt auf einer reibungsfreien Fläche mit einer Amplitude von 15 cm. Bestimme ihre Geschwindigkeit v, wenn sie 2 cm von der Ruhelage entfernt ist.
Ein Geschoss mit 20 g und 250 m/s trifft einen Klotz mit 1,5 kg, der auf einer reibungsfreien Fläche liegt, und bleibt darin stecken. Der Klotz ist an einer waagerechten Feder mit k = 500 N/m befestigt. Bestimme die Amplitude A der entstehenden Schwingung in cm.
Beim Ausschwingversuch an einem gedämpften Feder-Masse-System folgt auf einen Auslenkungsscheitel von 40 mm 4 Perioden später ein Scheitel von 11,4 mm. Bestimme den Dämpfungsgrad ζ.
Eine Masse von 40 kg hängt an zwei nebeneinander (parallel) angeordneten Federn mit den Steifigkeiten k₁ = 30 kN/m und k₂ = 60 kN/m. Die Masse bleibt waagerecht. Bestimme die Ersatzsteifigkeit keq des Federsystems in kN/m.
Antwort: s = 57,14 m
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.
Antwort: t = 5,073 s
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.
Nach oben ist positiv, und der Boden liegt h₀ unter dem Startpunkt.
Nur die positive Lösung ist physikalisch sinnvoll.
Antwort: μ = 0,3064
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Antwort: a = 8,602 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Antwort: y = 19,11 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
An der Wand steigt der Ball noch.
Antwort: H = 54,99 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Antwort: vmax = 15,97 m/s
Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.
Antwort: T = 5,562 N
Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.
Zum Mittelpunkt hin (nach oben) ist positiv.
Antwort: T = 28,8 N
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d). Auf einer Kreisbahn muss die resultierende Kraft zum Mittelpunkt gleich mv²/r sein.
Probe: T = mg(3 − 2cos θ) = 28,8 N.
Antwort: v = 10,91 m/s
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).
Antwort: v′1 = 0,3846 m/s
Impulserhaltung: Wirkt während eines Stoßes keine äußere Kraft, ist der Gesamtimpuls Σm·v vorher gleich dem Gesamtimpuls nachher. Geschwindigkeiten haben eine Richtung: Wähle eine positive Richtung und gib Geschwindigkeiten in Gegenrichtung ein Minuszeichen. Beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten; beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften.
Löst man Impuls- und Energieerhaltung gemeinsam, ergeben sich diese beiden Ergebnisse.
Antwort: Favg = 252 N
Impulserhaltung: Wirkt während eines Stoßes keine äußere Kraft, ist der Gesamtimpuls Σm·v vorher gleich dem Gesamtimpuls nachher. Geschwindigkeiten haben eine Richtung: Wähle eine positive Richtung und gib Geschwindigkeiten in Gegenrichtung ein Minuszeichen. Beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten; beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften.
Antwort: P = 567,9 kW
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Antwort: ω = 2,913 rad/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Die Drehpunktkraft geht durch den Drehpunkt, hat dort während des Stoßes also kein Moment.
Antwort: Tw = 33,96 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Antwort: nout = 300 rpm
Zahnradgetriebe: Kämmende Zahnräder haben an den Zähnen dieselbe Geschwindigkeit, also n₁·N₁ = n₂·N₂: Das Rad mit weniger Zähnen dreht schneller. Räder auf derselben Welle drehen gleich schnell. Die Leistung wird (abzüglich der Verluste) weitergegeben, daher steigt das Drehmoment, wenn die Drehzahl sinkt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, und P = T·ω mit ω = 2π·n/60.
Gesamtübersetzung = 3,2 : 1
Antwort: v = 2,628 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Antwort: A = 18,14 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Antwort: ζ = 0,04988
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Antwort: keq = 90 kN/m
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Nebeneinander angeordnete Federn haben denselben Weg, und ihre Kräfte addieren sich, daher addieren sich ihre Steifigkeiten einfach: k = k1 + k2.
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