Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 20 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Ein Flugzeug startet aus der Ruhe und beschleunigt gleichmäßig mit 3,25 m/s² entlang einer Startbahn. Bestimme seine Geschwindigkeit v nach 600 m.
Ein Ball wird von der Kante eines Dachs 25 m über dem Boden mit 6 m/s senkrecht nach oben geworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Wie lange nach dem Abwurf trifft er auf den Boden? Bestimme t.
Ein Block mit 17 kg gleitet eine schiefe Ebene mit 30° Neigung hinunter. Der Gleitreibungskoeffizient ist 0,2. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Beschleunigung a des Blocks entlang der Ebene.
Ein Block mit 9,5 kg auf einem waagerechten Tisch ist über eine leichte Schnur, die über eine reibungsfreie Rolle läuft, mit einer hängenden Masse von 3 kg verbunden. Der Tisch ist reibungsfrei. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Beschleunigung a des Systems.
Ein Ball wird von ebenem Boden mit 28 m/s unter 65° zur Horizontalen auf eine 24 m entfernte Wand zu geschossen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². In welcher Höhe y passiert der Ball die Wand?
Ein Ball wird unter 50° zur Horizontalen von der Kante einer 50 m hohen Klippe abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand. Bestimme die horizontale Entfernung x, die der Ball zurücklegt, bevor er auf dem Boden aufkommt.
In einem Rotor auf dem Jahrmarkt stehen die Fahrgäste an der Wand eines senkrechten Zylinders mit dem Radius 1,8 m. Dreht er sich schnell genug, fällt der Boden weg, und die Reibung hält sie fest. Der Haftreibungskoeffizient beträgt 0,4. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die kleinste Winkelgeschwindigkeit ω in rad/s.
Ein Ball an einer 0,6 m langen Schnur wird auf einem vertikalen Kreis herumgeschleudert. Verwende g = 9,81 m/s². Wie groß ist die kleinste Geschwindigkeit vmin am höchsten Punkt, bei der die Schnur gerade noch gespannt bleibt?
Ein Block mit 2,5 kg rutscht 9 m eine Schräge mit 25° Neigung hinunter, bei einem Gleitreibungskoeffizienten von 0,2. Bestimme die gegen die Reibung verrichtete Arbeit Wf.
Ein Block mit 1 kg wird auf einer glatten Rampe in 1 m Höhe aus der Ruhe losgelassen. Unten überquert er einen rauen, waagerechten Streifen von 1 m Länge (μ = 0,25) und läuft dann auf einer glatten Fläche gegen eine Feder (k = 4000 N/m). Bestimme die Geschwindigkeit v des Blocks, wenn er die Feder erreicht.
Ein Gleiter mit 3 kg und 5 m/s stößt auf einer reibungsfreien Bahn vollkommen elastisch und zentral mit einem ruhenden Gleiter mit 5 kg zusammen. Bestimme die Geschwindigkeit v′2 des zweiten Gleiters nach dem Stoß.
Ein Ball mit 0,2 kg trifft mit 24 m/s auf eine Wand und prallt mit 8 m/s gerade zurück. Der Kontakt dauert 20 ms. Bestimme die mittlere Kraft Favg der Wand auf den Ball.
Ein homogener dünner Stab der Masse 6,5 kg und der Länge 2,5 m ist an einem Ende gelagert und wird aus der Ruhe in waagerechter Lage losgelassen. Am freien Ende ist eine kleine Kugel der Masse 1 kg befestigt. Vernachlässige die Reibung und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Geschwindigkeit v des freien Endes, wenn der Stab durch die senkrechte Lage schwingt.
Ein homogener dünner Stab der Masse 7 kg und der Länge 2 m hängt in Ruhe an einem reibungsfreien Drehpunkt an seinem oberen Ende. Ein Geschoss von 35 g, das sich waagerecht mit 600 m/s bewegt, trifft den Stab 1,15 m unter dem Drehpunkt und bleibt stecken. Bestimme die Winkelgeschwindigkeit ω des Stabes unmittelbar nach dem Stoß.
Zwei parallele Wellen liegen 156,3 mm auseinander. Sie sollen über ein Stirnradpaar mit dem Modul 2,5 mm und einer Untersetzung von 4 : 1 verbunden werden. Wie viele Zähne N1 muss das Ritzel haben?
Ein offener Riemen verbindet eine Scheibe mit 125 mm und eine Scheibe mit 500 mm, deren Mittelpunkte 1200 mm voneinander entfernt sind. Bestimme den Umschlingungswinkel θ an der kleineren Scheibe in Grad.
Ein Fadenpendel hat eine Länge von 1,2 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme seine Periodendauer T für kleine Auslenkungen.
Eine Masse von 0,9 kg an einer Feder mit k = 100 N/m wird um 19 cm aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Bestimme ihre maximale Geschwindigkeit vmax.
Eine Masse von 5 kg wird von einer Feder mit einer Steifigkeit von 80 kN/m und einem viskosen Dämpfer mit einer Dämpfungskonstante von 630 N·s/m getragen. Bestimme den Dämpfungsgrad ζ.
Eine Masse von 20 kg hängt an der Feder k₃ = 80 kN/m. Das obere Ende von k₃ ist an einem starren Balken befestigt, der an zwei nebeneinander angeordneten Federn hängt, k₁ = 10 kN/m und k₂ = 5 kN/m; der Balken bleibt waagerecht. Vernachlässige die Dämpfung und die Massen von Federn und Balken. Bestimme die Eigenfrequenz fn der vertikalen Schwingung in Hz.
Antwort: v = 62,45 m/s
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.
Antwort: t = 2,951 s
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.
Nach oben ist positiv, und der Boden liegt h₀ unter dem Startpunkt.
Nur die positive Lösung ist physikalisch sinnvoll.
Antwort: a = 3,206 m/s²
Zweites Newtonsches Gesetz: Die resultierende Kraft auf einen Körper ist gleich seiner Masse mal seiner Beschleunigung, ΣF = m·a. Zeichne ein Freikörperbild, wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung und addiere alle Kräfte in dieser Richtung: angreifende Kräfte, die Reibung μ·N entgegen der Bewegung und die Komponenten der Gewichtskraft.
Hangabwärts ist positiv.
Antwort: a = 2,354 m/s²
Zweites Newtonsches Gesetz: Die resultierende Kraft auf einen Körper ist gleich seiner Masse mal seiner Beschleunigung, ΣF = m·a. Zeichne ein Freikörperbild, wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung und addiere alle Kräfte in dieser Richtung: angreifende Kräfte, die Reibung μ·N entgegen der Bewegung und die Komponenten der Gewichtskraft.
Antwort: y = 31,29 m
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
An der Wand steigt der Ball noch.
Antwort: x = 32,89 m
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant; die vertikale Bewegung hat eine konstante Beschleunigung g = 9,81 m/s² nach unten.
Löse y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 nach der positiven Wurzel auf.
Antwort: ω = 3,691 rad/s
Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.
Antwort: vmin = 2,426 m/s
Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.
Antwort: Wf = 40,01 J
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).
Antwort: v = 3,836 m/s
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).
Die Rampe ist glatt, also nimmt nur der Streifen Energie weg.
Antwort: v′2 = 3,75 m/s
Impulserhaltung: Wirkt während eines Stoßes keine äußere Kraft, ist der Gesamtimpuls Σm·v vorher gleich dem Gesamtimpuls nachher. Geschwindigkeiten haben eine Richtung: Wähle eine positive Richtung und gib Geschwindigkeiten in Gegenrichtung ein Minuszeichen. Beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten; beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften.
Löst man Impuls- und Energieerhaltung gemeinsam, ergeben sich diese beiden Ergebnisse.
Antwort: Favg = 320 N
Impulserhaltung: Wirkt während eines Stoßes keine äußere Kraft, ist der Gesamtimpuls Σm·v vorher gleich dem Gesamtimpuls nachher. Geschwindigkeiten haben eine Richtung: Wähle eine positive Richtung und gib Geschwindigkeiten in Gegenrichtung ein Minuszeichen. Beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten; beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften.
Antwort: v = 8,114 m/s
Drehung um eine feste Achse: Die Summe der Momente um die Achse ist gleich I·α (ΣM = I·α), genau wie ΣF = m·a bei der Translation. In Energieform verrichtet ein Drehmoment T, das um einen Winkel θ (im Bogenmaß) dreht, die Arbeit T·θ, die die kinetische Energie ½·I·ω² ändert; die Schwerkraft fügt die Energie m·g·Δh des Schwerpunkts hinzu oder entzieht sie. Die Leistung ist P = T·ω.
Antwort: ω = 2,575 rad/s
Rollen und Drehimpuls: Ein Körper, der ohne Gleiten rollt, hat v = ω·r, seine kinetische Energie ist also ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Auf einer Schräge ergibt das a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Wenn um eine Achse kein äußeres Moment wirkt, bleibt der Drehimpuls um diese Achse konstant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, auch wenn kinetische Energie verloren geht.
Die Drehpunktkraft geht durch den Drehpunkt, hat dort während des Stoßes also kein Moment.
Antwort: N1 = 25
Zahnradgeometrie: Der Modul m legt die Zahngröße fest. Ein Zahnrad mit N Zähnen hat den Teilkreisdurchmesser d = m·N, zwei kämmende Zahnräder haben denselben Modul, und ihr Achsabstand ist a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Die Umfangsgeschwindigkeit am Teilkreis ist v = π·d·n/60, und die Umfangskraft am Zahn folgt aus dem Drehmoment: Ft = 2T/d.
Antwort: θ = 162 °
Riemenantriebe: Ohne Schlupf haben beide Scheiben dieselbe Umfangsgeschwindigkeit v = π·d·n/60, also n₁·d₁ = n₂·d₂, und das Übersetzungsverhältnis ist d₂/d₁. Schlupf s macht die getriebene Scheibe etwas langsamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Die übertragene Leistung ist P = (T₁ − T₂)·v, mit der Zugkraft T₁ im Lasttrum und T₂ im Leertrum. Die Reibung begrenzt das Verhältnis der Zugkräfte: T₁/T₂ = eμθ, wobei θ der Umschlingungswinkel im Bogenmaß an der kleineren Scheibe ist; für einen offenen Riemen gilt θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) mit dem Achsabstand C.
Antwort: T = 2,198 s
Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².
Antwort: vmax = 2,003 m/s
Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².
Antwort: ζ = 0,4981
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, also ist das System unterkritisch gedämpft und schwingt beim Abklingen.
Antwort: fn = 4 Hz
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Nur k1 und k2 liegen parallel. Dieses Paar liegt in Reihe mit k3, also addiere die Kehrwerte.
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