Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 20 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Ein Flugzeug braucht zum Abheben eine Geschwindigkeit von 180 km/h, und die nutzbare Startbahn ist 800 m lang. Welche konstante Beschleunigung a braucht es aus dem Stand?
Ein Ball wird von der Kante eines Dachs 10 m über dem Boden mit 5 m/s senkrecht nach oben geworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Wie lange nach dem Abwurf trifft er auf den Boden? Bestimme t.
Eine Kiste gleitet mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 6,5 m/s über einen ebenen Boden und kommt nach 14 m zur Ruhe. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Gleitreibungskoeffizienten μ.
Ein Block mit 6 kg auf einem waagerechten Tisch ist über eine leichte Schnur, die über eine reibungsfreie Rolle läuft, mit einer hängenden Masse von 3,5 kg verbunden. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Block und Tisch ist 0,1. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Beschleunigung a des Systems.
Ein Ball wird unter 30° zur Horizontalen vom ebenen Boden abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand. Bestimme die horizontale Entfernung x, die der Ball zurücklegt, bevor er auf dem Boden aufkommt.
Ein Ball wird unter 35° zur Horizontalen von der Kante einer 40 m hohen Klippe abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand. Bestimme die horizontale Entfernung x, die der Ball zurücklegt, bevor er auf dem Boden aufkommt.
Ein Auto fährt durch eine ebene Kurve mit dem Radius 140 m. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße ist 0,6. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die größte Geschwindigkeit vmax, mit der das Auto die Kurve durchfahren kann, ohne zu rutschen.
Ein Wagen mit 2,5 kg wird in 18,15 m Höhe auf einer reibungsfreien Bahn aus der Ruhe losgelassen und durchfährt einen senkrechten Looping mit dem Radius 5,5 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Normalkraft Ntop der Bahn auf den Wagen am höchsten Punkt des Loopings.
Ein Block mit 2,5 kg rutscht 6 m eine Schräge mit 35° Neigung hinunter, bei einem Gleitreibungskoeffizienten von 0,2. Bestimme die gegen die Reibung verrichtete Arbeit Wf.
Ein Block mit 10 kg wird auf einer glatten Rampe in 3,5 m Höhe aus der Ruhe losgelassen. Unten überquert er einen rauen, waagerechten Streifen von 3 m Länge (μ = 0,25) und läuft dann auf einer glatten Fläche gegen eine Feder (k = 4000 N/m). Bestimme die maximale Zusammendrückung x der Feder.
Ein Gleiter mit 1 kg und 3 m/s stößt auf einer reibungsfreien Bahn vollkommen elastisch und zentral mit einem ruhenden Gleiter mit 0,5 kg zusammen. Bestimme die Geschwindigkeit v′1 des ersten Gleiters nach dem Stoß (positiv in seiner ursprünglichen Richtung).
Ein Geschoss mit 8 g wird waagerecht in einen Klotz mit 2,5 kg geschossen, der an leichten Schnüren von 0,9 m Länge hängt, und bleibt darin stecken. Die Schnüre schwingen bis zu einem größten Winkel von 15° gegen die Vertikale aus. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Geschwindigkeit v des Geschosses vor dem Aufprall.
Ein homogener dünner Stab der Masse 4 kg und der Länge 1,4 m ist an einem Ende gelagert und wird aus der Ruhe in waagerechter Lage losgelassen. Am freien Ende ist eine kleine Kugel der Masse 5 kg befestigt. Vernachlässige die Reibung und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Winkelgeschwindigkeit ω des Stabes, wenn er durch die senkrechte Lage schwingt.
Ein Körper (Vollkugel) rollt ohne Gleiten eine Schräge hinab, die um 25° gegen die Waagerechte geneigt ist. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Beschleunigung a seines Schwerpunkts.
Eine Scheibe mit 100 mm bei 1440 rpm treibt über einen Riemen mit 4 % Schlupf eine Scheibe mit 300 mm an. Bestimme die Drehzahl n2 der getriebenen Scheibe.
In einem mehrstufigen Zahnradgetriebe treibt Rad A (15 Zähne) auf der Antriebswelle mit 3000 rpm das Rad B (32 Zähne) an. Rad C (48 Zähne) sitzt fest auf derselben Welle wie B und treibt Rad D (60 Zähne) auf der Abtriebswelle an. Bestimme die Abtriebsdrehzahl nout.
Eine Astronautin stellt auf einem anderen Planeten fest, dass ein Fadenpendel von 0,6 m Länge bei kleinen Auslenkungen eine Periodendauer von 0,98 s hat. Bestimme die Fallbeschleunigung g auf diesem Planeten.
Eine Masse von 2,9 kg an einer Feder mit k = 260 N/m wird um 16 cm aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Bestimme ihre maximale Geschwindigkeit vmax.
Eine Masse von 100 kg an einer Feder mit einer Steifigkeit von 40 kN/m hat einen viskosen Dämpfer, der einen Dämpfungsgrad von 0,5 ergibt. Bestimme die gedämpfte Eigenfrequenz fd ihrer freien Schwingung in Hz.
Eine Masse von 40 kg hängt an zwei hintereinander (in Reihe) geschalteten Federn: Die obere Feder hat k₁ = 25 kN/m, die untere k₂ = 5 kN/m. Vernachlässige die Dämpfung und die Massen der Federn. Bestimme die Eigenfrequenz fn der vertikalen Schwingung in Hz.
Antwort: a = 1,563 m/s²
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Antwort: t = 2,026 s
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.
Nach oben ist positiv, und der Boden liegt h₀ unter dem Startpunkt.
Nur die positive Lösung ist physikalisch sinnvoll.
Antwort: μ = 0,1538
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Antwort: a = 2,995 m/s²
Zweites Newtonsches Gesetz: Die resultierende Kraft auf einen Körper ist gleich seiner Masse mal seiner Beschleunigung, ΣF = m·a. Zeichne ein Freikörperbild, wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung und addiere alle Kräfte in dieser Richtung: angreifende Kräfte, die Reibung μ·N entgegen der Bewegung und die Komponenten der Gewichtskraft.
Antwort: x = 50,85 m
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant; die vertikale Bewegung hat eine konstante Beschleunigung g = 9,81 m/s² nach unten.
Abwurf und Landung auf gleicher Höhe: t = 2vy/g.
Antwort: x = 64,98 m
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant; die vertikale Bewegung hat eine konstante Beschleunigung g = 9,81 m/s² nach unten.
Löse y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 nach der positiven Wurzel auf.
Antwort: vmax = 28,71 m/s
Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.
Antwort: Ntop = 39,24 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Zum Mittelpunkt ist positiv.
Antwort: Wf = 24,11 J
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).
Antwort: x = 36,73 cm
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).
Die Rampe ist glatt, also nimmt nur der Streifen Energie weg.
Antwort: v′1 = 1 m/s
Impulserhaltung: Wirkt während eines Stoßes keine äußere Kraft, ist der Gesamtimpuls Σm·v vorher gleich dem Gesamtimpuls nachher. Geschwindigkeiten haben eine Richtung: Wähle eine positive Richtung und gib Geschwindigkeiten in Gegenrichtung ein Minuszeichen. Beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten; beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften.
Löst man Impuls- und Energieerhaltung gemeinsam, ergeben sich diese beiden Ergebnisse.
Antwort: v = 243,2 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Antwort: ω = 3,936 rad/s
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Antwort: a = 2,961 m/s²
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Antwort: n2 = 460,8 rpm
Riemenantriebe: Ohne Schlupf haben beide Scheiben dieselbe Umfangsgeschwindigkeit v = π·d·n/60, also n₁·d₁ = n₂·d₂, und das Übersetzungsverhältnis ist d₂/d₁. Schlupf s macht die getriebene Scheibe etwas langsamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Die übertragene Leistung ist P = (T₁ − T₂)·v, mit der Zugkraft T₁ im Lasttrum und T₂ im Leertrum. Die Reibung begrenzt das Verhältnis der Zugkräfte: T₁/T₂ = eμθ, wobei θ der Umschlingungswinkel im Bogenmaß an der kleineren Scheibe ist; für einen offenen Riemen gilt θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) mit dem Achsabstand C.
Antwort: nout = 1125 rpm
Zahnradgetriebe: Kämmende Zahnräder haben an den Zähnen dieselbe Geschwindigkeit, also n₁·N₁ = n₂·N₂: Das Rad mit weniger Zähnen dreht schneller. Räder auf derselben Welle drehen gleich schnell. Die Leistung wird (abzüglich der Verluste) weitergegeben, daher steigt das Drehmoment, wenn die Drehzahl sinkt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, und P = T·ω mit ω = 2π·n/60.
Gesamtübersetzung = 2,667 : 1
Antwort: g = 24,66 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Antwort: vmax = 1,515 m/s
Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².
Antwort: fd = 2,757 Hz
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Antwort: fn = 1,624 Hz
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Federn in Reihe übertragen dieselbe Kraft, und ihre Wege addieren sich, daher werden die Kehrwerte addiert: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics