Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 20 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Eine Fahrerin fährt mit 54 km/h und sieht ein Hindernis. Ihre Reaktionszeit beträgt 0,6 s, danach bremst das Auto mit einer konstanten Verzögerung von 7 m/s². Bestimme den gesamten Anhalteweg d ab dem Moment, in dem sie das Hindernis sieht.
Eine Straßenbahn fährt aus dem Stand an und beschleunigt 5 s lang mit 3 m/s², fährt dann 15 s mit konstanter Geschwindigkeit und bremst schließlich mit 4,5 m/s² bis zum Stillstand. Bestimme die gesamte Strecke s zwischen den beiden Haltestellen.
Eine Kiste mit 15 kg wird mit konstanter Geschwindigkeit durch eine Kraft parallel zur Rampe eine Rampe mit 25° Neigung hinaufgeschoben. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt 0,3. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Schubkraft F.
Ein Klotz erhält einen Stoß, sodass er mit 11,5 m/s eine Rampe mit 15° Neigung hinaufzugleiten beginnt. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt 0,25. Verwende g = 9,81 m/s². Wie weit d gleitet er die Rampe hinauf, bevor er stehen bleibt?
Ein Ball wird von ebenem Boden unter 45° zur Horizontalen abgeworfen und landet 70 m entfernt. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Abwurfgeschwindigkeit v0.
Ein Ball wird unter 15° zur Horizontalen von der Kante einer 35 m hohen Klippe abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand. Bestimme die Flugzeit t, bis der Ball auf dem Boden aufkommt.
Ein Auto mit 1700 kg fährt mit 20 m/s über eine Kuppe in der Straße. Die Kuppe ist ein Kreisbogen mit dem Radius 60 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Normalkraft N der Straße auf das Auto auf der Kuppe.
Eine Kugel mit 1,9 kg an einem leichten Faden von 0,5 m Länge wird auf einer senkrechten Kreisbahn herumgeschwungen. Am tiefsten Punkt beträgt ihre Geschwindigkeit 9,5 m/s. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Fadenkraft Ttop am höchsten Punkt.
Ein Auto mit 2000 kg fährt mit konstant 90 km/h eine Steigung von 5° hinauf. Luft- und Rollwiderstand betragen zusammen 800 N. Bestimme die Leistung P, die die Räder abgeben müssen, in kW.
Ein Block mit 5 kg wird auf einer glatten Rampe in 3,5 m Höhe aus der Ruhe losgelassen. Unten überquert er einen rauen, waagerechten Streifen von 2,5 m Länge (μ = 0,1) und läuft dann auf einer glatten Fläche gegen eine Feder (k = 800 N/m). Bestimme die maximale Zusammendrückung x der Feder.
Ein Geschoss mit 15 g wird waagerecht in einen an leichten Schnüren hängenden Holzklotz mit 3 kg geschossen und bleibt darin stecken. Der Klotz schwingt hoch, bis er 15 cm höher ist als am Anfang. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Geschwindigkeit v des Geschosses vor dem Aufprall.
Ein Auto mit 1200 kg fährt auf ein parkendes Auto mit 1600 kg auf. Die Wracks verhaken sich und rutschen 8 m, bevor sie stehen bleiben. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße beträgt 0,8. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Geschwindigkeit v1 des ersten Autos direkt vor dem Zusammenstoß.
Ein Block von 4 kg hängt an einem leichten Seil, das um eine Rolle gewickelt ist, eine homogene Vollscheibe der Masse 20 kg und des Radius 0,2 m, die sich auf einer reibungsfreien waagerechten Achse dreht. Der Block wird aus der Ruhe losgelassen. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Seilkraft T im Seil.
Ein Körper (Vollzylinder) rollt ohne Gleiten eine Schräge hinab, die um 30° gegen die Waagerechte geneigt ist. Verwende g = 9,81 m/s². Er startet aus der Ruhe. Wie lange t braucht er, um 1,5 m die Schräge hinabzurollen?
Eine Scheibe mit 150 mm bei 720 rpm treibt über einen Riemen mit 2 % Schlupf eine Scheibe mit 315 mm an. Bestimme die Drehzahl n2 der getriebenen Scheibe.
In einem mehrstufigen Zahnradgetriebe treibt Rad A (12 Zähne) auf der Antriebswelle mit 3000 rpm das Rad B (25 Zähne) an. Rad C (25 Zähne) sitzt fest auf derselben Welle wie B und treibt Rad D (48 Zähne) auf der Abtriebswelle an. Bestimme die Abtriebsdrehzahl nout.
Eine Masse von 1,4 kg an einer Feder mit k = 370 N/m wird 14 cm in positive Richtung ausgelenkt und bei t = 0 aus der Ruhe losgelassen. Bestimme ihre Auslenkung x aus der Ruhelage bei t = 1,3 s (mit Vorzeichen).
Eine Masse von 1,8 kg an einer Feder mit k = 210 N/m wird um 17 cm aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Bestimme die Gesamtenergie E der Schwingung.
Beim Ausschwingversuch an einem gedämpften Feder-Masse-System folgt auf einen Auslenkungsscheitel von 15 mm eine Periode später ein Scheitel von 12,4 mm. Bestimme den Dämpfungsgrad ζ.
Eine Masse von 25 kg hängt an der Feder k₃ = 30 kN/m. Das obere Ende von k₃ ist an einem starren Balken befestigt, der an zwei nebeneinander angeordneten Federn hängt, k₁ = 5 kN/m und k₂ = 30 kN/m; der Balken bleibt waagerecht. Vernachlässige die Dämpfung und die Massen von Federn und Balken. Bestimme die Eigenfrequenz fn der vertikalen Schwingung in Hz.
Antwort: d = 25,07 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Antwort: s = 287,5 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Antwort: F = 102,2 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Konstante Geschwindigkeit: Die Kräfte sind im Gleichgewicht.
Antwort: d = 13,47 m
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Beide Kräfte zeigen hangabwärts; die Masse kürzt sich.
Antwort: v0 = 26,2 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Antwort: t = 3,411 s
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant; die vertikale Bewegung hat eine konstante Beschleunigung g = 9,81 m/s² nach unten.
Löse y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 nach der positiven Wurzel auf.
Antwort: N = 5344 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Zum Mittelpunkt (nach unten) ist positiv.
Das Auto fühlt sich leichter an: Die Straße drückt weniger stark nach oben als seine Gewichtskraft.
Antwort: Ttop = 249,8 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Kinetische Energie wird über eine Höhe 2r in potenzielle Energie umgewandelt.
Fadenkraft und Schwerkraft zeigen beide nach unten, zum Mittelpunkt.
Antwort: P = 62,75 kW
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d). Leistung ist Kraft mal Geschwindigkeit: P = F·v.
Antwort: x = 63,13 cm
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).
Die Rampe ist glatt, also nimmt nur der Streifen Energie weg.
Antwort: v = 344,8 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Antwort: v1 = 26,15 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Antwort: T = 28,03 N
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Antwort: t = 0,9578 s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Antwort: n2 = 336 rpm
Riemenantriebe: Ohne Schlupf haben beide Scheiben dieselbe Umfangsgeschwindigkeit v = π·d·n/60, also n₁·d₁ = n₂·d₂, und das Übersetzungsverhältnis ist d₂/d₁. Schlupf s macht die getriebene Scheibe etwas langsamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Die übertragene Leistung ist P = (T₁ − T₂)·v, mit der Zugkraft T₁ im Lasttrum und T₂ im Leertrum. Die Reibung begrenzt das Verhältnis der Zugkräfte: T₁/T₂ = eμθ, wobei θ der Umschlingungswinkel im Bogenmaß an der kleineren Scheibe ist; für einen offenen Riemen gilt θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) mit dem Achsabstand C.
Antwort: nout = 750 rpm
Zahnradgetriebe: Kämmende Zahnräder haben an den Zähnen dieselbe Geschwindigkeit, also n₁·N₁ = n₂·N₂: Das Rad mit weniger Zähnen dreht schneller. Räder auf derselben Welle drehen gleich schnell. Die Leistung wird (abzüglich der Verluste) weitergegeben, daher steigt das Drehmoment, wenn die Drehzahl sinkt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, und P = T·ω mit ω = 2π·n/60.
Gesamtübersetzung = 4 : 1
Antwort: x = −9,164 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Antwort: E = 3,035 J
Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².
Antwort: ζ = 0,03028
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Antwort: fn = 4,046 Hz
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Nur k1 und k2 liegen parallel. Dieses Paar liegt in Reihe mit k3, also addiere die Kehrwerte.
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