Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 20 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Eine Fahrerin fährt mit 80 km/h und sieht ein Hindernis. Ihre Reaktionszeit beträgt 0,9 s, danach bremst das Auto mit einer konstanten Verzögerung von 6 m/s². Bestimme den gesamten Anhalteweg d ab dem Moment, in dem sie das Hindernis sieht.
Ein Stein wird aus der Ruhe in einen Brunnen fallen gelassen. Das Aufklatschen ist 1,6 s nach dem Loslassen zu hören. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 343 m/s; vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Tiefe d des Brunnens.
Ein Block mit 14 kg gleitet eine schiefe Ebene mit 30° Neigung hinunter. Der Gleitreibungskoeffizient ist 0,15. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Beschleunigung a des Blocks entlang der Ebene.
Ein Block mit 1 kg auf einem waagerechten Tisch ist über eine leichte Schnur, die über eine reibungsfreie Rolle läuft, mit einer hängenden Masse von 4,5 kg verbunden. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Block und Tisch ist 0,3. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Seilkraft T in der Schnur.
Ein Ball wird von ebenem Boden mit 26 m/s unter 55° zur Horizontalen auf eine 52 m entfernte Wand zu geschossen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². In welcher Höhe y passiert der Ball die Wand?
Ein Ball wird unter 25° zur Horizontalen von der Kante einer 25 m hohen Klippe abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand. Bestimme die horizontale Entfernung x, die der Ball zurücklegt, bevor er auf dem Boden aufkommt.
Eine kleine Kugel an einem Faden der Länge 1,1 m bewegt sich so auf einer waagerechten Kreisbahn, dass der Faden einen konstanten Winkel von 40° mit der Vertikalen bildet (Kegelpendel). Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Zeit T für einen Umlauf.
Eine Kurve mit dem Radius 130 m ist um 18° überhöht, und der Haftreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße beträgt 0,15. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die höchste Geschwindigkeit vmax, mit der ein Auto die Kurve durchfahren kann, ohne nach oben und außen zu rutschen.
Ein Block mit 10 kg rutscht 18 m eine Schräge mit 45° Neigung hinunter, bei einem Gleitreibungskoeffizienten von 0,3. Bestimme die gegen die Reibung verrichtete Arbeit Wf.
Ein Wagen mit 0,5 kg wird in 4,8 m Höhe auf einer glatten Bahn aus der Ruhe losgelassen, die in einen senkrechten Looping mit dem Radius 1,5 m führt. Bestimme die Geschwindigkeit v des Wagens am höchsten Punkt des Loopings.
Ein Auto mit 900 kg und 24 m/s fährt auf ein stehendes Auto mit 1900 kg auf, und die beiden verhaken sich. Wie viel kinetische Energie ΔK geht beim Stoß verloren?
Ein Ball mit 0,4 kg trifft mit 22 m/s auf eine Wand und prallt mit 19 m/s gerade zurück. Der Kontakt dauert 5 ms. Bestimme die mittlere Kraft Favg der Wand auf den Ball.
Ein homogener dünner Stab der Masse 9 kg und der Länge 1,2 m ist an einem Ende gelagert und wird aus der Ruhe in waagerechter Lage losgelassen. Am freien Ende ist eine kleine Kugel der Masse 3,5 kg befestigt. Vernachlässige die Reibung und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Winkelgeschwindigkeit ω des Stabes, wenn er durch die senkrechte Lage schwingt.
Ein Körper (Vollzylinder) startet aus der Ruhe und rollt ohne Gleiten eine Schräge hinab, die um 25° gegen die Waagerechte geneigt ist. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme seine Geschwindigkeit v, nachdem es 2,5 m entlang der Schräge gerollt ist.
Ein Motor mit 1,5 kW und 960 rpm treibt eine Schnecke mit 4 Gang/Gängen an. Das Schneckenrad hat 72 Zähne, und der Wirkungsgrad des Getriebes beträgt 60 %. Bestimme das Abtriebsdrehmoment Tw an der Welle des Schneckenrads.
Ein offener Riemen verbindet eine Scheibe mit 160 mm und eine Scheibe mit 400 mm, deren Mittelpunkte 800 mm voneinander entfernt sind. Bestimme den Umschlingungswinkel θ an der kleineren Scheibe in Grad.
Eine Masse von 1,4 kg an einer Feder mit k = 100 N/m wird 11 cm in positive Richtung ausgelenkt und bei t = 0 aus der Ruhe losgelassen. Bestimme ihre Auslenkung x aus der Ruhelage bei t = 0,15 s (mit Vorzeichen).
Ein Geschoss mit 12 g und 250 m/s trifft einen Klotz mit 1,5 kg, der auf einer reibungsfreien Fläche liegt, und bleibt darin stecken. Der Klotz ist an einer waagerechten Feder mit k = 400 N/m befestigt. Bestimme die Amplitude A der entstehenden Schwingung in cm.
Eine Masse von 10 kg wird von einer Feder mit einer Steifigkeit von 50 kN/m und einem viskosen Dämpfer mit einer Dämpfungskonstante von 70 N·s/m getragen. Bestimme den Dämpfungsgrad ζ.
Eine Masse von 5 kg hängt an zwei nebeneinander (parallel) angeordneten Federn mit den Steifigkeiten k₁ = 60 kN/m und k₂ = 20 kN/m. Die Masse bleibt waagerecht. Bestimme die Ersatzsteifigkeit keq des Federsystems in kN/m.
Antwort: d = 61,15 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Antwort: d = 12,01 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Nur die positive Lösung ist physikalisch sinnvoll.
Antwort: a = 3,631 m/s²
Zweites Newtonsches Gesetz: Die resultierende Kraft auf einen Körper ist gleich seiner Masse mal seiner Beschleunigung, ΣF = m·a. Zeichne ein Freikörperbild, wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung und addiere alle Kräfte in dieser Richtung: angreifende Kräfte, die Reibung μ·N entgegen der Bewegung und die Komponenten der Gewichtskraft.
Hangabwärts ist positiv.
Antwort: T = 10,43 N
Zweites Newtonsches Gesetz: Die resultierende Kraft auf einen Körper ist gleich seiner Masse mal seiner Beschleunigung, ΣF = m·a. Zeichne ein Freikörperbild, wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung und addiere alle Kräfte in dieser Richtung: angreifende Kräfte, die Reibung μ·N entgegen der Bewegung und die Komponenten der Gewichtskraft.
Antwort: y = 14,63 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
An der Wand ist der Ball bereits auf dem Weg nach unten.
Antwort: x = 128,1 m
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant; die vertikale Bewegung hat eine konstante Beschleunigung g = 9,81 m/s² nach unten.
Löse y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 nach der positiven Wurzel auf.
Antwort: T = 1,841 s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Fadenkraft und Schwerkraft ergeben zusammen die nach innen gerichtete Kraft: tan θ = v²/(r·g).
Antwort: vmax = 25,23 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Die Reibung zeigt hangabwärts.
Antwort: Wf = 374,6 J
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).
Antwort: v = 5,943 m/s
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d). Auf einer Kreisbahn muss die resultierende Kraft zum Mittelpunkt gleich mv²/r sein.
Der Wagen schafft den Looping gerade noch bei h = 2,5R; dann ist N = 0 am höchsten Punkt.
Antwort: ΔK = 175886 J
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Die verlorene Energie geht in Verformung, Wärme und Schall.
Antwort: Favg = 3280 N
Impulserhaltung: Wirkt während eines Stoßes keine äußere Kraft, ist der Gesamtimpuls Σm·v vorher gleich dem Gesamtimpuls nachher. Geschwindigkeiten haben eine Richtung: Wähle eine positive Richtung und gib Geschwindigkeiten in Gegenrichtung ein Minuszeichen. Beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten; beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften.
Antwort: ω = 4,486 rad/s
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Antwort: v = 3,717 m/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Rollen ohne Gleiten: ω = v/r, und die Reibung verrichtet am Berührpunkt keine Arbeit.
Antwort: Tw = 161,1 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Antwort: θ = 162,7 °
Riemenantriebe: Ohne Schlupf haben beide Scheiben dieselbe Umfangsgeschwindigkeit v = π·d·n/60, also n₁·d₁ = n₂·d₂, und das Übersetzungsverhältnis ist d₂/d₁. Schlupf s macht die getriebene Scheibe etwas langsamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Die übertragene Leistung ist P = (T₁ − T₂)·v, mit der Zugkraft T₁ im Lasttrum und T₂ im Leertrum. Die Reibung begrenzt das Verhältnis der Zugkräfte: T₁/T₂ = eμθ, wobei θ der Umschlingungswinkel im Bogenmaß an der kleineren Scheibe ist; für einen offenen Riemen gilt θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) mit dem Achsabstand C.
Antwort: x = 3,283 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Antwort: A = 12,2 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Antwort: ζ = 0,0495
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, also ist das System unterkritisch gedämpft und schwingt beim Abklingen.
Antwort: keq = 80 kN/m
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Nebeneinander angeordnete Federn haben denselben Weg, und ihre Kräfte addieren sich, daher addieren sich ihre Steifigkeiten einfach: k = k1 + k2.
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