Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 20 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Eine Fahrerin fährt mit 72 km/h und sieht ein Hindernis. Ihre Reaktionszeit beträgt 1,1 s, danach bremst das Auto mit einer konstanten Verzögerung von 7,5 m/s². Bestimme den gesamten Anhalteweg d ab dem Moment, in dem sie das Hindernis sieht.
Eine Straßenbahn fährt aus dem Stand an und beschleunigt 8 s lang mit 1 m/s², fährt dann 12 s mit konstanter Geschwindigkeit und bremst schließlich mit 2 m/s² bis zum Stillstand. Bestimme die gesamte Strecke s zwischen den beiden Haltestellen.
Ein Block mit 5 kg gleitet eine schiefe Ebene mit 40° Neigung hinunter. Der Gleitreibungskoeffizient ist 0,2. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Beschleunigung a des Blocks entlang der Ebene.
Ein Klotz erhält einen Stoß, sodass er mit 11,5 m/s eine Rampe mit 25° Neigung hinaufzugleiten beginnt. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt 0,25. Verwende g = 9,81 m/s². Wie weit d gleitet er die Rampe hinauf, bevor er stehen bleibt?
Ein Ball wird unter 65° zur Horizontalen vom ebenen Boden abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand. Bestimme die maximale Höhe H, die der Ball erreicht.
Ein Ball wird unter 15° zur Horizontalen von der Kante einer 20 m hohen Klippe abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand. Bestimme die horizontale Entfernung x, die der Ball zurücklegt, bevor er auf dem Boden aufkommt.
Ein Auto mit 1000 kg fährt mit 6 m/s über eine Kuppe in der Straße. Die Kuppe ist ein Kreisbogen mit dem Radius 35 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Normalkraft N der Straße auf das Auto auf der Kuppe.
Ein Ball mit 1,6 kg an einer 1,5 m langen Schnur wird auf einem vertikalen Kreis herumgeschleudert. Am tiefsten Punkt bewegt er sich mit 7,5 m/s. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Seilkraft T in der Schnur am tiefsten Punkt.
Eine Kugel mit 5 kg hängt an einem leichten Faden der Länge 3 m. Sie wird ausgelenkt, bis der Faden 45° mit der Vertikalen bildet, und aus der Ruhe losgelassen. Bestimme die Fadenkraft T, wenn die Kugel den tiefsten Punkt durchläuft.
Ein Wagen mit 1 kg wird in 11,3 m Höhe auf einer glatten Bahn aus der Ruhe losgelassen, die in einen senkrechten Looping mit dem Radius 2,5 m führt. Bestimme die Geschwindigkeit v des Wagens am höchsten Punkt des Loopings.
Ein Gleiter mit 0,5 kg und 2 m/s stößt auf einer reibungsfreien Bahn vollkommen elastisch und zentral mit einem ruhenden Gleiter mit 1 kg zusammen. Bestimme die Geschwindigkeit v′1 des ersten Gleiters nach dem Stoß (positiv in seiner ursprünglichen Richtung).
Ein Auto mit 2000 kg fährt auf ein parkendes Auto mit 1600 kg auf. Die Wracks verhaken sich und rutschen 22,5 m, bevor sie stehen bleiben. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße beträgt 0,5. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Geschwindigkeit v1 des ersten Autos direkt vor dem Zusammenstoß.
Ein Block von 10,5 kg hängt an einem leichten Seil, das um eine Rolle gewickelt ist, eine homogene Vollscheibe der Masse 12 kg und des Radius 0,25 m, die sich auf einer reibungsfreien waagerechten Achse dreht. Der Block wird aus der Ruhe losgelassen. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Winkelbeschleunigung α der Rolle.
Ein homogener dünner Stab der Masse 8,5 kg und der Länge 1,8 m hängt in Ruhe an einem reibungsfreien Drehpunkt an seinem oberen Ende. Ein Geschoss von 25 g, das sich waagerecht mit 220 m/s bewegt, trifft den Stab 0,87 m unter dem Drehpunkt und bleibt stecken. Bestimme die Winkelgeschwindigkeit ω des Stabes unmittelbar nach dem Stoß.
Ein Riemen läuft auf einer treibenden Scheibe mit 200 mm bei 1440 rpm. Die Zugkraft beträgt 500 N im Lasttrum und 200 N im Leertrum. Bestimme die übertragene Leistung P in kW.
Ein offener Riemen verbindet eine Scheibe mit 150 mm und eine Scheibe mit 300 mm, deren Mittelpunkte 600 mm voneinander entfernt sind. Bestimme den Umschlingungswinkel θ an der kleineren Scheibe in Grad.
Eine Astronautin stellt auf einem anderen Planeten fest, dass ein Fadenpendel von 0,7 m Länge bei kleinen Auslenkungen eine Periodendauer von 1,77 s hat. Bestimme die Fallbeschleunigung g auf diesem Planeten.
Eine Masse von 1,3 kg an einer Feder mit k = 200 N/m wird um 6 cm aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Bestimme ihre maximale Geschwindigkeit vmax.
Eine Masse von 25 kg wird von einer Feder mit einer Steifigkeit von 200 kN/m und einem viskosen Dämpfer mit einer Dämpfungskonstante von 1340 N·s/m getragen. Bestimme den Dämpfungsgrad ζ.
Eine Masse von 100 kg hängt an zwei nebeneinander (parallel) angeordneten Federn mit den Steifigkeiten k₁ = 100 kN/m und k₂ = 15 kN/m. Die Masse bleibt waagerecht. Vernachlässige die Dämpfung und die Massen der Federn. Bestimme die Eigenfrequenz fn der vertikalen Schwingung in Hz.
Antwort: d = 48,67 m
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.
Antwort: s = 144 m
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.
Antwort: a = 4,803 m/s²
Zweites Newtonsches Gesetz: Die resultierende Kraft auf einen Körper ist gleich seiner Masse mal seiner Beschleunigung, ΣF = m·a. Zeichne ein Freikörperbild, wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung und addiere alle Kräfte in dieser Richtung: angreifende Kräfte, die Reibung μ·N entgegen der Bewegung und die Komponenten der Gewichtskraft.
Hangabwärts ist positiv.
Antwort: d = 10,38 m
Zweites Newtonsches Gesetz: Die resultierende Kraft auf einen Körper ist gleich seiner Masse mal seiner Beschleunigung, ΣF = m·a. Zeichne ein Freikörperbild, wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung und addiere alle Kräfte in dieser Richtung: angreifende Kräfte, die Reibung μ·N entgegen der Bewegung und die Komponenten der Gewichtskraft.
Beide Kräfte zeigen hangabwärts; die Masse kürzt sich.
Antwort: H = 13,56 m
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant; die vertikale Bewegung hat eine konstante Beschleunigung g = 9,81 m/s² nach unten.
Am höchsten Punkt ist die vertikale Geschwindigkeit null: vy² = 2gH.
Antwort: x = 22,22 m
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant; die vertikale Bewegung hat eine konstante Beschleunigung g = 9,81 m/s² nach unten.
Löse y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 nach der positiven Wurzel auf.
Antwort: N = 8781 N
Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.
Zum Mittelpunkt (nach unten) ist positiv.
Das Auto fühlt sich leichter an: Die Straße drückt weniger stark nach oben als seine Gewichtskraft.
Antwort: T = 75,7 N
Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.
Zum Mittelpunkt hin (nach oben) ist positiv.
Antwort: T = 77,78 N
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d). Auf einer Kreisbahn muss die resultierende Kraft zum Mittelpunkt gleich mv²/r sein.
Probe: T = mg(3 − 2cos θ) = 77,78 N.
Antwort: v = 11,12 m/s
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d). Auf einer Kreisbahn muss die resultierende Kraft zum Mittelpunkt gleich mv²/r sein.
Der Wagen schafft den Looping gerade noch bei h = 2,5R; dann ist N = 0 am höchsten Punkt.
Antwort: v′1 = −0,6667 m/s
Impulserhaltung: Wirkt während eines Stoßes keine äußere Kraft, ist der Gesamtimpuls Σm·v vorher gleich dem Gesamtimpuls nachher. Geschwindigkeiten haben eine Richtung: Wähle eine positive Richtung und gib Geschwindigkeiten in Gegenrichtung ein Minuszeichen. Beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten; beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften.
Löst man Impuls- und Energieerhaltung gemeinsam, ergeben sich diese beiden Ergebnisse.
Das Minuszeichen bedeutet, dass der erste Gleiter zurückprallt.
Antwort: v1 = 26,74 m/s
Impulserhaltung: Wirkt während eines Stoßes keine äußere Kraft, ist der Gesamtimpuls Σm·v vorher gleich dem Gesamtimpuls nachher. Geschwindigkeiten haben eine Richtung: Wähle eine positive Richtung und gib Geschwindigkeiten in Gegenrichtung ein Minuszeichen. Beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten; beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften.
Antwort: α = 24,97 rad/s²
Drehung um eine feste Achse: Die Summe der Momente um die Achse ist gleich I·α (ΣM = I·α), genau wie ΣF = m·a bei der Translation. In Energieform verrichtet ein Drehmoment T, das um einen Winkel θ (im Bogenmaß) dreht, die Arbeit T·θ, die die kinetische Energie ½·I·ω² ändert; die Schwerkraft fügt die Energie m·g·Δh des Schwerpunkts hinzu oder entzieht sie. Die Leistung ist P = T·ω.
Antwort: ω = 0,5202 rad/s
Rollen und Drehimpuls: Ein Körper, der ohne Gleiten rollt, hat v = ω·r, seine kinetische Energie ist also ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Auf einer Schräge ergibt das a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Wenn um eine Achse kein äußeres Moment wirkt, bleibt der Drehimpuls um diese Achse konstant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, auch wenn kinetische Energie verloren geht.
Die Drehpunktkraft geht durch den Drehpunkt, hat dort während des Stoßes also kein Moment.
Antwort: P = 4,524 kW
Riemenantriebe: Ohne Schlupf haben beide Scheiben dieselbe Umfangsgeschwindigkeit v = π·d·n/60, also n₁·d₁ = n₂·d₂, und das Übersetzungsverhältnis ist d₂/d₁. Schlupf s macht die getriebene Scheibe etwas langsamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Die übertragene Leistung ist P = (T₁ − T₂)·v, mit der Zugkraft T₁ im Lasttrum und T₂ im Leertrum. Die Reibung begrenzt das Verhältnis der Zugkräfte: T₁/T₂ = eμθ, wobei θ der Umschlingungswinkel im Bogenmaß an der kleineren Scheibe ist; für einen offenen Riemen gilt θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) mit dem Achsabstand C.
Antwort: θ = 165,6 °
Riemenantriebe: Ohne Schlupf haben beide Scheiben dieselbe Umfangsgeschwindigkeit v = π·d·n/60, also n₁·d₁ = n₂·d₂, und das Übersetzungsverhältnis ist d₂/d₁. Schlupf s macht die getriebene Scheibe etwas langsamer: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Die übertragene Leistung ist P = (T₁ − T₂)·v, mit der Zugkraft T₁ im Lasttrum und T₂ im Leertrum. Die Reibung begrenzt das Verhältnis der Zugkräfte: T₁/T₂ = eμθ, wobei θ der Umschlingungswinkel im Bogenmaß an der kleineren Scheibe ist; für einen offenen Riemen gilt θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) mit dem Achsabstand C.
Antwort: g = 8,821 m/s²
Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².
Antwort: vmax = 0,7442 m/s
Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².
Antwort: ζ = 0,2996
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, also ist das System unterkritisch gedämpft und schwingt beim Abklingen.
Antwort: fn = 5,397 Hz
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Nebeneinander angeordnete Federn haben denselben Weg, und ihre Kräfte addieren sich, daher addieren sich ihre Steifigkeiten einfach: k = k1 + k2.
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