Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 20 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Ein Auto, das mit konstant 27 m/s zu schnell fährt, passiert ein stehendes Polizeiauto. In diesem Moment fährt das Polizeiauto los und beschleunigt gleichmäßig mit 5 m/s². Wie weit von seinem Startpunkt entfernt holt das Polizeiauto auf? Bestimme d.
Ein Ball wird von der Kante eines Dachs 15 m über dem Boden mit 14 m/s senkrecht nach oben geworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Wie lange nach dem Abwurf trifft er auf den Boden? Bestimme t.
Ein Block mit 11 kg gleitet eine reibungsfreie schiefe Ebene mit 45° Neigung hinunter. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Beschleunigung a des Blocks entlang der Ebene.
Ein Klotz erhält einen Stoß, sodass er mit 6,5 m/s eine Rampe mit 15° Neigung hinaufzugleiten beginnt. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt 0,3. Verwende g = 9,81 m/s². Wie weit d gleitet er die Rampe hinauf, bevor er stehen bleibt?
Ein Ball wird von ebenem Boden unter 45° zur Horizontalen abgeworfen und landet 20 m entfernt. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Abwurfgeschwindigkeit v0.
Ein Ball wird mit 11 m/s unter 60° zur Horizontalen von der Kante einer 5 m hohen Klippe abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die größte Höhe H über dem Boden am Fuß der Klippe.
Ein Auto fährt durch eine ebene Kurve mit dem Radius 110 m. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße ist 0,6. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die größte Geschwindigkeit vmax, mit der das Auto die Kurve durchfahren kann, ohne zu rutschen.
Ein kleiner Wagen wird auf einer reibungsfreien Bahn aus der Ruhe losgelassen und fährt in einen senkrechten Looping mit dem Radius 1,5 m. Aus welcher Mindesthöhe hmin über dem tiefsten Punkt des Loopings muss er starten, damit er am höchsten Punkt des Loopings auf der Bahn bleibt?
Ein Block mit 5 kg rutscht 9 m eine Schräge mit 35° Neigung hinunter, bei einem Gleitreibungskoeffizienten von 0,15. Bestimme die gegen die Reibung verrichtete Arbeit Wf.
Ein Block mit 5 kg startet aus der Ruhe am Fuß einer Schräge mit 30° Neigung und wird durch eine konstante Kraft von 75 N parallel zur Schräge hinaufgezogen. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt 0,3. Bestimme die Geschwindigkeit v des Blocks, nachdem er sich 8 m die Schräge hinaufbewegt hat.
Ein Geschoss mit 8 kg, das sich waagerecht mit 37 m/s bewegt, explodiert in zwei Bruchstücke, die sich entlang derselben Linie bewegen. Das Bruchstück mit 5 kg fliegt mit 83 m/s nach vorn weiter. Bestimme die Geschwindigkeit v′2 des Bruchstücks mit 3 kg (positiv in der ursprünglichen Richtung).
Ein Ball mit 0,15 kg trifft mit 8 m/s auf eine Wand und prallt mit 7 m/s gerade zurück. Der Kontakt dauert 50 ms. Bestimme die mittlere Kraft Favg der Wand auf den Ball.
Ein Schwungrad mit einem Trägheitsmoment von 33,5 kg·m² dreht sich mit 2400 rpm. Eine Bremse übt ein konstantes Reibmoment von 50 N·m aus. Wie lange t dauert es, bis es stillsteht?
Eine Person steht auf einer reibungsfreien Drehscheibe und hält in jeder Hand eine Hantel von 1 kg, 0,8 m von der Achse entfernt. Die Person und die Drehscheibe allein haben ein Trägheitsmoment von 2 kg·m² um die Achse. Sie drehen sich mit 35 rpm und ziehen dann die Hanteln auf 0,2 m Abstand von der Achse heran. Behandle die Hanteln als Punktmassen. Bestimme die neue Drehzahl n2 in rpm.
Ein Motor mit 2,2 kW und 1450 rpm treibt ein Ritzel mit 12 Zähnen an, das mit einem Rad mit 80 Zähnen kämmt. Das Zahnradpaar hat einen Wirkungsgrad von 96 %. Bestimme das Abtriebsdrehmoment T2 an der Radwelle.
In einem mehrstufigen Rädergetriebe dreht sich Zahnrad A (20 Zähne) auf der Antriebswelle mit 1500 rpm und treibt Zahnrad B (25 Zähne) an. Zahnrad C (24 Zähne) sitzt fest auf derselben Welle wie B und treibt Zahnrad D auf der Abtriebswelle an. Der Abtrieb soll sich mit 720 rpm drehen. Wie viele Zähne ND muss Zahnrad D haben?
Wie lang muss ein Fadenpendel sein, damit es eine Periodendauer von 2,2 s hat? Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme L.
Eine Masse von 4 kg an einer Feder mit k = 410 N/m wird um 11 cm aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Bestimme ihre maximale Geschwindigkeit vmax.
Eine Masse von 40 kg an einer Feder mit einer Steifigkeit von 4 kN/m hat einen viskosen Dämpfer, der einen Dämpfungsgrad von 0,4 ergibt. Bestimme die gedämpfte Eigenfrequenz fd ihrer freien Schwingung in Hz.
Eine Masse von 50 kg hängt an zwei hintereinander (in Reihe) geschalteten Federn: Die obere Feder hat k₁ = 50 kN/m, die untere k₂ = 100 kN/m. Bestimme die Ersatzsteifigkeit keq des Federsystems in kN/m.
Antwort: d = 291,6 m
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.
In diesem Moment fährt das Polizeiauto mit 2v = 54 m/s.
Antwort: t = 3,684 s
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.
Nach oben ist positiv, und der Boden liegt h₀ unter dem Startpunkt.
Nur die positive Lösung ist physikalisch sinnvoll.
Antwort: a = 6,937 m/s²
Zweites Newtonsches Gesetz: Die resultierende Kraft auf einen Körper ist gleich seiner Masse mal seiner Beschleunigung, ΣF = m·a. Zeichne ein Freikörperbild, wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung und addiere alle Kräfte in dieser Richtung: angreifende Kräfte, die Reibung μ·N entgegen der Bewegung und die Komponenten der Gewichtskraft.
Hangabwärts ist positiv.
Antwort: d = 3,925 m
Zweites Newtonsches Gesetz: Die resultierende Kraft auf einen Körper ist gleich seiner Masse mal seiner Beschleunigung, ΣF = m·a. Zeichne ein Freikörperbild, wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung und addiere alle Kräfte in dieser Richtung: angreifende Kräfte, die Reibung μ·N entgegen der Bewegung und die Komponenten der Gewichtskraft.
Beide Kräfte zeigen hangabwärts; die Masse kürzt sich.
Antwort: v0 = 14,01 m/s
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Antwort: H = 9,625 m
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Antwort: vmax = 25,45 m/s
Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.
Antwort: hmin = 3,75 m
Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.
Antwort: Wf = 54,24 J
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).
Antwort: v = 10,99 m/s
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).
Antwort: v′2 = −39,67 m/s
Impulserhaltung: Wirkt während eines Stoßes keine äußere Kraft, ist der Gesamtimpuls Σm·v vorher gleich dem Gesamtimpuls nachher. Geschwindigkeiten haben eine Richtung: Wähle eine positive Richtung und gib Geschwindigkeiten in Gegenrichtung ein Minuszeichen. Beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten; beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften.
Das Minuszeichen bedeutet, dass das zweite Bruchstück nach hinten fliegt.
Antwort: Favg = 45 N
Impulserhaltung: Wirkt während eines Stoßes keine äußere Kraft, ist der Gesamtimpuls Σm·v vorher gleich dem Gesamtimpuls nachher. Geschwindigkeiten haben eine Richtung: Wähle eine positive Richtung und gib Geschwindigkeiten in Gegenrichtung ein Minuszeichen. Beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten; beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften.
Antwort: t = 168,4 s
Drehung um eine feste Achse: Die Summe der Momente um die Achse ist gleich I·α (ΣM = I·α), genau wie ΣF = m·a bei der Translation. In Energieform verrichtet ein Drehmoment T, das um einen Winkel θ (im Bogenmaß) dreht, die Arbeit T·θ, die die kinetische Energie ½·I·ω² ändert; die Schwerkraft fügt die Energie m·g·Δh des Schwerpunkts hinzu oder entzieht sie. Die Leistung ist P = T·ω.
Antwort: n2 = 55,19 rpm
Rollen und Drehimpuls: Ein Körper, der ohne Gleiten rollt, hat v = ω·r, seine kinetische Energie ist also ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Auf einer Schräge ergibt das a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Wenn um eine Achse kein äußeres Moment wirkt, bleibt der Drehimpuls um diese Achse konstant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, auch wenn kinetische Energie verloren geht.
Die kinetische Energie nimmt zu: Die zusätzliche Energie stammt aus der Arbeit, die die Person beim Heranziehen der Hanteln verrichtet.
Antwort: T2 = 92,73 N·m
Zahnradgetriebe: Kämmende Zahnräder haben an den Zähnen dieselbe Geschwindigkeit, also n₁·N₁ = n₂·N₂: Das Rad mit weniger Zähnen dreht schneller. Räder auf derselben Welle drehen gleich schnell. Die Leistung wird (abzüglich der Verluste) weitergegeben, daher steigt das Drehmoment, wenn die Drehzahl sinkt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, und P = T·ω mit ω = 2π·n/60.
Antwort: ND = 40
Zahnradgetriebe: Kämmende Zahnräder haben an den Zähnen dieselbe Geschwindigkeit, also n₁·N₁ = n₂·N₂: Das Rad mit weniger Zähnen dreht schneller. Räder auf derselben Welle drehen gleich schnell. Die Leistung wird (abzüglich der Verluste) weitergegeben, daher steigt das Drehmoment, wenn die Drehzahl sinkt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, und P = T·ω mit ω = 2π·n/60.
Antwort: L = 1,203 m
Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².
Antwort: vmax = 1,114 m/s
Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².
Antwort: fd = 1,459 Hz
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Antwort: keq = 33,33 kN/m
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Federn in Reihe übertragen dieselbe Kraft, und ihre Wege addieren sich, daher werden die Kehrwerte addiert: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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