Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 20 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Ein Auto, das mit 45 km/h fährt, bremst mit einer konstanten Verzögerung von 8 m/s² bis zum Stillstand. Bestimme den Bremsweg s.
Ball A wird aus der Ruhe aus 20 m Höhe fallen gelassen. Im selben Moment wird Ball B direkt darunter vom Boden mit 17 m/s senkrecht nach oben geworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Wann treffen sich die Bälle? Bestimme t.
Ein Block mit 13 kg gleitet eine schiefe Ebene mit 40° Neigung hinunter. Der Gleitreibungskoeffizient ist 0,25. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Beschleunigung a des Blocks entlang der Ebene.
Ein Klotz erhält einen Stoß, sodass er mit 10,5 m/s eine Rampe mit 15° Neigung hinaufzugleiten beginnt. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt 0,15. Verwende g = 9,81 m/s². Wie weit d gleitet er die Rampe hinauf, bevor er stehen bleibt?
Ein Ball wird von ebenem Boden mit 40 m/s unter 40° zur Horizontalen auf eine 64 m entfernte Wand zu geschossen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². In welcher Höhe y passiert der Ball die Wand?
Ein Ball wird mit 14 m/s unter 60° zur Horizontalen von der Kante einer 10 m hohen Klippe abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Unter welchem Winkel α unter der Horizontalen trifft er auf den Boden?
Ein Auto fährt durch eine ebene Kurve mit dem Radius 35 m. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße ist 0,3. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die größte Geschwindigkeit vmax, mit der das Auto die Kurve durchfahren kann, ohne zu rutschen.
Eine Kurve mit dem Radius 150 m ist um 15° überhöht, und der Haftreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße beträgt 0,15. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die niedrigste Geschwindigkeit vmin, mit der ein Auto die Kurve durchfahren kann, ohne die Böschung hinunterzurutschen.
Ein Block gleitet aus der Ruhe eine Schräge mit 35° Neigung hinunter. Der Gleitreibungskoeffizient ist 0,2. Bestimme seine Geschwindigkeit v, nachdem er 17 m entlang der Schräge gerutscht ist.
Ein Block mit 15 kg startet aus der Ruhe am Fuß einer Schräge mit 25° Neigung und wird durch eine konstante Kraft von 110 N parallel zur Schräge hinaufgezogen. Der Gleitreibungskoeffizient beträgt 0,2. Bestimme die Geschwindigkeit v des Blocks, nachdem er sich 4 m die Schräge hinaufbewegt hat.
Ein Geschoss mit 12 g wird waagerecht in einen an leichten Schnüren hängenden Holzklotz mit 2 kg geschossen und bleibt darin stecken. Der Klotz schwingt hoch, bis er 13 cm höher ist als am Anfang. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Geschwindigkeit v des Geschosses vor dem Aufprall.
Ein Ball mit 0,2 kg trifft mit 11 m/s auf eine Wand und prallt mit 17 m/s gerade zurück. Der Kontakt dauert 25 ms. Bestimme die mittlere Kraft Favg der Wand auf den Ball.
Ein Motor bringt ein Schwungrad mit einem Trägheitsmoment von 8 kg·m² in 4 s aus der Ruhe auf 2900 rpm. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten die mittlere Leistung Pavg, die er abgibt, in kW.
Ein Körper (Vollzylinder) der Masse 8,5 kg rollt ohne Gleiten mit 7 m/s. Welcher Prozentsatz p seiner gesamten kinetischen Energie ist Rotationsenergie?
Zwei parallele Wellen liegen 135 mm auseinander. Sie sollen über ein Stirnradpaar mit dem Modul 5 mm und einer Untersetzung von 2 : 1 verbunden werden. Wie viele Zähne N1 muss das Ritzel haben?
In einem mehrstufigen Rädergetriebe dreht sich Zahnrad A (20 Zähne) auf der Antriebswelle mit 2880 rpm und treibt Zahnrad B (25 Zähne) an. Zahnrad C (15 Zähne) sitzt fest auf derselben Welle wie B und treibt Zahnrad D auf der Abtriebswelle an. Der Abtrieb soll sich mit 576 rpm drehen. Wie viele Zähne ND muss Zahnrad D haben?
Ein Fadenpendel hat eine Länge von 1,4 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme seine Periodendauer T für kleine Auslenkungen.
Eine Masse von 3,9 kg an einer Feder mit k = 170 N/m wird um 19 cm aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen. Bestimme die Gesamtenergie E der Schwingung.
Beim Ausschwingversuch an einem gedämpften Feder-Masse-System folgt auf einen Auslenkungsscheitel von 50 mm 3 Perioden später ein Scheitel von 2,9 mm. Bestimme den Dämpfungsgrad ζ.
Eine Masse von 25 kg hängt an zwei hintereinander (in Reihe) geschalteten Federn: Die obere Feder hat k₁ = 10 kN/m, die untere k₂ = 15 kN/m. Bestimme die Ersatzsteifigkeit keq des Federsystems in kN/m.
Antwort: s = 9,766 m
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.
Antwort: t = 1,176 s
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.
Nach oben ist positiv, der Boden ist y = 0.
Antwort: a = 4,427 m/s²
Zweites Newtonsches Gesetz: Die resultierende Kraft auf einen Körper ist gleich seiner Masse mal seiner Beschleunigung, ΣF = m·a. Zeichne ein Freikörperbild, wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung und addiere alle Kräfte in dieser Richtung: angreifende Kräfte, die Reibung μ·N entgegen der Bewegung und die Komponenten der Gewichtskraft.
Hangabwärts ist positiv.
Antwort: d = 13,92 m
Zweites Newtonsches Gesetz: Die resultierende Kraft auf einen Körper ist gleich seiner Masse mal seiner Beschleunigung, ΣF = m·a. Zeichne ein Freikörperbild, wähle eine positive Richtung entlang der Bewegung und addiere alle Kräfte in dieser Richtung: angreifende Kräfte, die Reibung μ·N entgegen der Bewegung und die Komponenten der Gewichtskraft.
Beide Kräfte zeigen hangabwärts; die Masse kürzt sich.
Antwort: y = 32,3 m
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
An der Wand steigt der Ball noch.
Antwort: α = 69,3 °
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Energie oder v² = v₀² + 2as in senkrechter Richtung.
Antwort: vmax = 10,15 m/s
Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.
Antwort: vmin = 12,92 m/s
Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.
Die Reibung zeigt hangaufwärts.
Antwort: v = 11,69 m/s
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).
Der Block sinkt um d·sin θ, während die Reibung μmg·cos θ·d abzieht. Die Masse kürzt sich.
Antwort: v = 3,358 m/s
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).
Antwort: v = 267,8 m/s
Impulserhaltung: Wirkt während eines Stoßes keine äußere Kraft, ist der Gesamtimpuls Σm·v vorher gleich dem Gesamtimpuls nachher. Geschwindigkeiten haben eine Richtung: Wähle eine positive Richtung und gib Geschwindigkeiten in Gegenrichtung ein Minuszeichen. Beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten; beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften.
Antwort: Favg = 224 N
Impulserhaltung: Wirkt während eines Stoßes keine äußere Kraft, ist der Gesamtimpuls Σm·v vorher gleich dem Gesamtimpuls nachher. Geschwindigkeiten haben eine Richtung: Wähle eine positive Richtung und gib Geschwindigkeiten in Gegenrichtung ein Minuszeichen. Beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten; beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften.
Antwort: Pavg = 92,23 kW
Drehung um eine feste Achse: Die Summe der Momente um die Achse ist gleich I·α (ΣM = I·α), genau wie ΣF = m·a bei der Translation. In Energieform verrichtet ein Drehmoment T, das um einen Winkel θ (im Bogenmaß) dreht, die Arbeit T·θ, die die kinetische Energie ½·I·ω² ändert; die Schwerkraft fügt die Energie m·g·Δh des Schwerpunkts hinzu oder entzieht sie. Die Leistung ist P = T·ω.
Antwort: p = 33,33 %
Rollen und Drehimpuls: Ein Körper, der ohne Gleiten rollt, hat v = ω·r, seine kinetische Energie ist also ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Auf einer Schräge ergibt das a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Wenn um eine Achse kein äußeres Moment wirkt, bleibt der Drehimpuls um diese Achse konstant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, auch wenn kinetische Energie verloren geht.
Der Anteil hängt nur von der Form ab, nicht von der Masse oder der Geschwindigkeit.
Antwort: N1 = 18
Zahnradgeometrie: Der Modul m legt die Zahngröße fest. Ein Zahnrad mit N Zähnen hat den Teilkreisdurchmesser d = m·N, zwei kämmende Zahnräder haben denselben Modul, und ihr Achsabstand ist a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Die Umfangsgeschwindigkeit am Teilkreis ist v = π·d·n/60, und die Umfangskraft am Zahn folgt aus dem Drehmoment: Ft = 2T/d.
Antwort: ND = 60
Zahnradgetriebe: Kämmende Zahnräder haben an den Zähnen dieselbe Geschwindigkeit, also n₁·N₁ = n₂·N₂: Das Rad mit weniger Zähnen dreht schneller. Räder auf derselben Welle drehen gleich schnell. Die Leistung wird (abzüglich der Verluste) weitergegeben, daher steigt das Drehmoment, wenn die Drehzahl sinkt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, und P = T·ω mit ω = 2π·n/60.
Antwort: T = 2,374 s
Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².
Antwort: E = 3,068 J
Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².
Antwort: ζ = 0,1494
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Antwort: keq = 6 kN/m
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Federn in Reihe übertragen dieselbe Kraft, und ihre Wege addieren sich, daher werden die Kehrwerte addiert: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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