Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 20 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Ein Auto, das mit konstant 15 m/s zu schnell fährt, passiert ein stehendes Polizeiauto. In diesem Moment fährt das Polizeiauto los und beschleunigt gleichmäßig mit 5 m/s². Wie weit von seinem Startpunkt entfernt holt das Polizeiauto auf? Bestimme d.
Ein Ball wird von der Kante eines Dachs 25 m über dem Boden mit 17 m/s senkrecht nach oben geworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Wie lange nach dem Abwurf trifft er auf den Boden? Bestimme t.
Eine Kiste gleitet mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 4,5 m/s über einen ebenen Boden und kommt nach 2,6 m zur Ruhe. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den Gleitreibungskoeffizienten μ.
Ein Klotz mit 5,5 kg auf einer Rampe mit 25° Neigung ist über einen leichten Faden und eine reibungsfreie Rolle am oberen Ende der Rampe mit einer hängenden Masse von 9 kg verbunden. Die hängende Masse bewegt sich nach unten. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Klotz und Rampe beträgt 0,2. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Seilkraft T in der Schnur.
Ein Ball wird von ebenem Boden mit 36 m/s abgeworfen und soll 50 m entfernt landen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme den kleineren der beiden möglichen Abwurfwinkel θ.
Ein Ball wird unter 50° zur Horizontalen von der Kante einer 35 m hohen Klippe abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand. Bestimme die Flugzeit t, bis der Ball auf dem Boden aufkommt.
Ein Auto fährt durch eine ebene Kurve mit dem Radius 45 m. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße ist 0,3. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die größte Geschwindigkeit vmax, mit der das Auto die Kurve durchfahren kann, ohne zu rutschen.
Eine Kugel mit 0,9 kg an einem leichten Faden von 0,9 m Länge wird auf einer senkrechten Kreisbahn herumgeschwungen. Am tiefsten Punkt beträgt ihre Geschwindigkeit 10 m/s. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Fadenkraft Ttop am höchsten Punkt.
Ein Spielzeugwerfer hat eine senkrechte Feder mit der Federkonstante 800 N/m. Eine Kugel mit 0,2 kg wird daraufgelegt, die Feder wird um 6 cm zusammengedrückt und dann losgelassen. Bestimme unter Vernachlässigung des Luftwiderstands und der Federmasse die Höhe h, die die Kugel steigt, gemessen von ihrer Lage bei zusammengedrückter Feder.
Ein Block mit 2 kg wird auf einer glatten Rampe in 2 m Höhe aus der Ruhe losgelassen. Unten überquert er einen rauen, waagerechten Streifen von 3 m Länge (μ = 0,15) und läuft dann auf einer glatten Fläche gegen eine Feder (k = 500 N/m). Bestimme die maximale Zusammendrückung x der Feder.
Ein Auto mit 1800 kg und 25 m/s fährt auf ein stehendes Auto mit 1100 kg auf, und die beiden verhaken sich. Wie viel Prozent ΔK/K der ursprünglichen kinetischen Energie gehen verloren?
Ein Ball mit 0,25 kg trifft mit 27 m/s auf eine Wand und prallt mit 11 m/s gerade zurück. Der Kontakt dauert 25 ms. Bestimme den Betrag des Kraftstoßes J, den die Wand auf den Ball ausübt.
Ein homogener dünner Stab der Masse 13 kg und der Länge 2,8 m ist an einem Ende gelagert und waagerecht festgehalten. Er wird aus der Ruhe losgelassen. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Beschleunigung atip des freien Endes unmittelbar nach dem Loslassen.
Ein Körper (Vollzylinder) startet aus der Ruhe und rollt ohne Gleiten eine Schräge hinab, die um 10° gegen die Waagerechte geneigt ist. Verwende g = 9,81 m/s². Sein Radius beträgt 0,1 m. Bestimme seine Winkelgeschwindigkeit ω, nachdem es 2,5 m entlang der Schräge gerollt ist.
Zwei parallele Wellen liegen 75 mm auseinander. Sie sollen über ein Stirnradpaar mit dem Modul 2 mm und einer Untersetzung von 1,5 : 1 verbunden werden. Wie viele Zähne N1 muss das Ritzel haben?
In einem mehrstufigen Zahnradgetriebe treibt Rad A (25 Zähne) auf der Antriebswelle mit 3000 rpm das Rad B (48 Zähne) an. Rad C (16 Zähne) sitzt fest auf derselben Welle wie B und treibt Rad D (24 Zähne) auf der Abtriebswelle an. Bestimme die Abtriebsdrehzahl nout.
Ein Fadenpendel hat eine Länge von 1,5 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme seine Periodendauer T für kleine Auslenkungen.
Eine Masse an einer Feder mit k = 410 N/m schwingt auf einer reibungsfreien Fläche mit einer Amplitude von 19 cm. Bestimme ihre kinetische Energie K, wenn sie 9 cm von der Ruhelage entfernt ist.
Beim Ausschwingversuch an einem gedämpften Feder-Masse-System folgt auf einen Auslenkungsscheitel von 50 mm 5 Perioden später ein Scheitel von 19,5 mm. Bestimme den Dämpfungsgrad ζ.
Eine Masse von 10 kg hängt an der Feder k₃ = 15 kN/m. Das obere Ende von k₃ ist an einem starren Balken befestigt, der an zwei nebeneinander angeordneten Federn hängt, k₁ = 60 kN/m und k₂ = 12 kN/m; der Balken bleibt waagerecht. Vernachlässige die Dämpfung und die Massen von Federn und Balken. Bestimme die Eigenfrequenz fn der vertikalen Schwingung in Hz.
Antwort: d = 90 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
In diesem Moment fährt das Polizeiauto mit 2v = 30 m/s.
Antwort: t = 4,579 s
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² und v² = v₀² + 2·a·s. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält, und halte die Vorzeichen mit einer einzigen positiven Richtung konsistent.
Nach oben ist positiv, und der Boden liegt h₀ unter dem Startpunkt.
Nur die positive Lösung ist physikalisch sinnvoll.
Antwort: μ = 0,397
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Antwort: T = 53,71 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Antwort: θ = 11,12 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Die andere Lösung ist 90° − θ = 78,88°.
Antwort: t = 5,767 s
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant; die vertikale Bewegung hat eine konstante Beschleunigung g = 9,81 m/s² nach unten.
Löse y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 nach der positiven Wurzel auf.
Antwort: vmax = 11,51 m/s
Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.
Antwort: Ttop = 55,85 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Kinetische Energie wird über eine Höhe 2r in potenzielle Energie umgewandelt.
Fadenkraft und Schwerkraft zeigen beide nach unten, zum Mittelpunkt.
Antwort: h = 0,7339 m
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).
Antwort: x = 34,88 cm
Arbeitssatz: Die Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Arbeit aller Kräfte. Schreibt man Schwerkraft und Federn als potenzielle Energie (mgh und ½kx²), wird daraus eine Bilanz: Anfangsenergie = Endenergie + Reibungsverluste (μN·d).
Die Rampe ist glatt, also nimmt nur der Streifen Energie weg.
Antwort: ΔK/K = 37,93 %
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Die verlorene Energie geht in Verformung, Wärme und Schall.
Antwort: J = 9,5 N·s
Impulserhaltung: Wirkt während eines Stoßes keine äußere Kraft, ist der Gesamtimpuls Σm·v vorher gleich dem Gesamtimpuls nachher. Geschwindigkeiten haben eine Richtung: Wähle eine positive Richtung und gib Geschwindigkeiten in Gegenrichtung ein Minuszeichen. Beim elastischen Stoß bleibt auch die kinetische Energie erhalten; beim vollständig unelastischen Stoß bleiben die Körper aneinander haften.
Antwort: atip = 14,71 m/s²
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Im Moment des Loslassens ist ω = 0, es gibt also keine Zentripetalbeschleunigung, und der Schwerpunkt beschleunigt senkrecht nach unten.
atip = 1,5·g für jede Länge: Das freie Ende fällt schneller als ein fallen gelassener Stein.
Antwort: ω = 23,83 rad/s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Rollen ohne Gleiten: ω = v/r, und die Reibung verrichtet am Berührpunkt keine Arbeit.
Antwort: N1 = 30
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Antwort: nout = 1042 rpm
Zahnradgetriebe: Kämmende Zahnräder haben an den Zähnen dieselbe Geschwindigkeit, also n₁·N₁ = n₂·N₂: Das Rad mit weniger Zähnen dreht schneller. Räder auf derselben Welle drehen gleich schnell. Die Leistung wird (abzüglich der Verluste) weitergegeben, daher steigt das Drehmoment, wenn die Drehzahl sinkt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, und P = T·ω mit ω = 2π·n/60.
Gesamtübersetzung = 2,88 : 1
Antwort: T = 2,457 s
Harmonische Schwingung: Eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstante k schwingt mit der Kreisfrequenz ω = √(k/m) und der Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Ein Fadenpendel der Länge L hat T = 2π·√(L/g). Mit der Amplitude A ist die größte Geschwindigkeit A·ω, die größte Beschleunigung A·ω² und die Energie ½·k·A².
Antwort: K = 5,74 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Antwort: ζ = 0,02996
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Antwort: fn = 5,608 Hz
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Nur k1 und k2 liegen parallel. Dieses Paar liegt in Reihe mit k3, also addiere die Kehrwerte.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics