Bestimme mit dem Knotenpotenzialverfahren das Knotenpotenzial VB (gegen Masse gemessen).
V1 = 9 VIs = 4 AR1 = 2 ΩR2 = 8 ΩR3 = 8 ΩR4 = 15 Ω
VB = V
4.KnotenpotenzialverfahrenSchwer
Die Raute ist eine spannungsgesteuerte Stromquelle, die einen Strom von 0,25·VA (in A, mit VA in V) nach oben in den Knoten B schiebt. Bestimme mit dem Knotenpotenzialverfahren das Knotenpotenzial VB (gegen Masse gemessen).
An a–b wird eine Last RL = 4 Ω angeschlossen. Ersetze den Rest der Schaltung durch ihr Thévenin-Ersatzschaltbild und bestimme den Laststrom IL.
V1 = 15 VR1 = 12 ΩR2 = 8 ΩR3 = 15 ΩRL = 4 Ω
IL = A
6.Thévenin und NortonSchwer
An a–b wird eine Last RL = 2 Ω angeschlossen. Bestimme mit einem Thévenin-Ersatzschaltbild die an die Last abgegebene Leistung PL.
V1 = 12 VIs = 5 AR1 = 5 ΩR2 = 8 ΩR3 = 5 ΩRL = 2 Ω
PL = W
7.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel
Die Quelle Vₛ lädt den Kondensator über R₁, und R₂ liegt parallel zu C. Der Kondensator ist ungeladen, wenn der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Kondensatorspannung vC bei t = 100 ms.
Vs = 30 VR1 = 2,2 kΩR2 = 6,8 kΩC = 68 µFt = 100 ms
vC = V
8.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer
Ein Zeitglied beginnt bei t = 0, einen ungeladenen Kondensator über einen Widerstand aus einer 9-V-Versorgung zu laden. Es soll auslösen, wenn die Kondensatorspannung 7,2 V erreicht, genau 200 ms nach dem Start. Bestimme mit C = 10 µF den nötigen Widerstand R.
Vs = 9 VVth = 7,2 VT = 200 msC = 10 µF
R = kΩ
9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel
Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 120 V (Effektivwert) und 500 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.
V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 2,2 µF
I = A
10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer
Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 10 V (Effektivwert) und 1000 Hz. Bestimme die Resonanzfrequenz f0 der Schaltung.
V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 1 µF
f0 = Hz
11.Wechselstromleistung und LeistungsfaktorMittel
Eine Last mit der Impedanz Z = 24 + j7 Ω liegt an einer einphasigen Versorgung mit 230 V (Effektivwert). Bestimme die aufgenommene Blindleistung Q.
V = 230 VZ = 24 + j7 Ω
Q = var
12.Wechselstromleistung und LeistungsfaktorSchwer
Eine Quelle mit 50 V (Effektivwert) und 1000 Hz hat eine Innenimpedanz Zs = 8 + j5 Ω. Die Lastimpedanz ZL kann frei gewählt werden. Bestimme die maximale Wirkleistung Pmax, die an die Last abgegeben werden kann.
Vs = 50 V (rms)f = 1000 HzZs = 8 + j5 Ω
Pmax = W
13.DrehstromleistungMittel
Ein Drehstrom-Asynchronmotor gibt bei Volllast 110 kW mechanische Leistung ab. Bei dieser Last beträgt sein Wirkungsgrad 88 % und sein Leistungsfaktor 0,8 induktiv. Das Netz hat eine Leiterspannung von 400 V. Bestimme den Leiterstrom IL.
Pout = 110 kWη = 88%cos φ = 0,8VL = 400 V
IL = A
14.DrehstromleistungSchwer
Eine symmetrische Drehstromlast nimmt 120 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,78 induktiv aus einem Netz mit 690 V (Leiterspannung) und 50 Hz auf. Eine parallel zur Last geschaltete Drehstrom-Kondensatorbatterie soll den Gesamtleistungsfaktor auf 0,98 induktiv anheben. Die Wirkleistung bleibt gleich. Bestimme die gesamte Blindleistung QC, die die Kondensatorbatterie liefern muss, in kvar.
P = 120 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,98VL = 690 Vf = 50 Hz
QC = kvar
15.TransformatorenMittel
An der Primärwicklung eines idealen Transformators mit dem Übersetzungsverhältnis N₁:N₂ = 5:1 liegen 1200 V. An die Sekundärwicklung ist ein Widerstand von 5 Ω angeschlossen. Bestimme den Primärstrom I1.
N1:N2 = 5:1V1 = 1200 VRL = 5 Ω
I1 = A
16.TransformatorenSchwer
Ein einphasiger Transformator mit 500 kVA hat Eisenverluste von 1500 W und Kupferverluste von 4500 W bei Nennlast. Bei welcher Last Sη,max, in kVA, ist sein Wirkungsgrad am höchsten?
S = 500 kVAPcore = 1500 WPcu,fl = 4500 W
Sη,max = kVA
3Lösungen
1.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: IR1 = 1,397 A
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R3 + R4 = 12 + 6 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 20·18/(20+18) = 9,474 Ω
Req = R1 + 9,474 = 12 + 9,474 = 21,47 Ω
Strom aus der Quelle
Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.
IR1 = V1/Req = 30/21,47 = 1,397 A
Antwort
IR1 = 1,397 A
2.Reihen- und Parallelschaltung
Antwort: IR1 = 0,5826 A
Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.
Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen
Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.
R5 + R6 = 25 + 2 = 27 Ω
R4 ∥ 27 = 2,7 Ω
R3 + 2,7 = 6,7 Ω
R2 ∥ 6,7 = 4,299 Ω
Req = R1 + 4,299 = 6 + 4,299 = 10,3 Ω
Strom aus der Quelle
Die Quelle sieht nur Req, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.
IR1 = V1/Req = 6/10,3 = 0,5826 A
Antwort
IR1 = 0,5826 A
3.Knotenpotenzialverfahren
Antwort: VB = 27,8 V
Knotenpotenzialverfahren: Wähle einen Bezugsknoten, benenne die unbekannten Knotenpotenziale, stelle an jedem unbekannten Knoten die Kirchhoffsche Knotenregel mit dem ohmschen Gesetz (I = ΔV/R) auf und löse das entstehende Gleichungssystem.
Knoten festlegen
Masse ist der untere Leiter. Bekannte Knotenpotenziale ergeben sich direkt aus den Quellen (V1 = 9 V). Unbekannt: VA, VB.
KCL am Knoten A
Die Ströme, die A über die Widerstände verlassen, sind gleich dem Strom, den die Quellen in A einspeisen.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/8 + (VA − 9)/2 + (VA − VB)/8 = 0
0,75·VA − 0,125·VB = 4,5
KCL am Knoten B
Die Ströme, die B über die Widerstände verlassen, sind gleich dem Strom, den die Quellen in B einspeisen.
VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/15 + (VB − VA)/8 = 4
−0,125·VA + 0,1917·VB = 4
Lösen
Δ = (0,75)(0,1917) − (−0,125)(−0,125) = 0,1281
VA = Δ1/Δ = 1,362/0,1281 = 10,63 V
VB = Δ2/Δ = 3,563/0,1281 = 27,8 V
Antwort
VB = 27,8 V
4.Knotenpotenzialverfahren
Antwort: VB = 8,94 V
Knotenpotenzialverfahren: Wähle einen Bezugsknoten, benenne die unbekannten Knotenpotenziale, stelle an jedem unbekannten Knoten die Kirchhoffsche Knotenregel mit dem ohmschen Gesetz (I = ΔV/R) auf und löse das entstehende Gleichungssystem.
Knotenregel am Knoten A
Die über die Widerstände von A abfließenden Ströme sind gleich dem Strom, den Quellen in A hineinschieben.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0,9583·VA − 0,125·VB = 2,5
Knotenregel am Knoten B
Die gesteuerte Quelle schiebt g·VA in den Knoten B. Behandle sie wie eine unabhängige Quelle und bringe dann den Term mit VA auf die linke Seite.
(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0,25·VA
−0,375·VA + 0,1583·VB = 0
Lösen
Δ = (0,9583)(0,1583) − (−0,125)(−0,375) = 0,1049
VA = Δ1/Δ = 0,3958/0,1049 = 3,775 V
VB = Δ2/Δ = 0,9375/0,1049 = 8,94 V
Antwort
VB = 8,94 V
5.Thévenin und Norton
Antwort: IL = 0,2521 A
Satz von Thévenin: Jedes lineare Zweipolnetzwerk verhält sich wie eine einzige Spannungsquelle Vth in Reihe mit einem Widerstand Rth. Der Satz von Norton beschreibt dasselbe Netzwerk als Stromquelle IN = Vth/Rth parallel zu Rth.
Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen
Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.
R1 ∥ R2 = 12·8/(12+8) = 4,8 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,8 + 15 = 19,8 Ω
Vth bestimmen, die Leerlaufspannung
Bei offenen Klemmen a–b fließt kein Strom durch R₃, also fällt daran keine Spannung ab und V_b = V_A. R₁ und R₂ bilden einen Spannungsteiler.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·8/(12+8) = 6 V
Die Last an das Thévenin-Ersatzschaltbild anschließen
Thévenin-Quelle und R_th in Reihe verhalten sich an a–b genau wie die ursprüngliche Schaltung, daher sieht die Last einen einfachen Reihenkreis.
IL = Vth/(Rth + RL) = 6/(19,8 + 4) = 0,2521 A
6.Thévenin und Norton
Antwort: PL = 44,94 W
Satz von Thévenin: Jedes lineare Zweipolnetzwerk verhält sich wie eine einzige Spannungsquelle Vth in Reihe mit einem Widerstand Rth. Der Satz von Norton beschreibt dasselbe Netzwerk als Stromquelle IN = Vth/Rth parallel zu Rth.
Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen
Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.
R1 ∥ R2 = 5·8/(5+8) = 3,077 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,077 + 5 = 8,077 Ω
Vth bestimmen, die Leerlaufspannung
Bei offenen Klemmen a–b fließt Iₛ nur über R₃ in Knoten A. Bestimme V_A durch Überlagerung von V₁ und Iₛ und addiere dann den Spannungsabfall an R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7,385 + 5·3,077 = 22,77 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 22,77 + 5·5 = 47,77 V
Die Last an das Thévenin-Ersatzschaltbild anschließen
Thévenin-Quelle und R_th in Reihe verhalten sich an a–b genau wie die ursprüngliche Schaltung, daher sieht die Last einen einfachen Reihenkreis.
IL = Vth/(Rth + RL) = 47,77/(8,077 + 2) = 4,74 A
PL = IL²·RL = 4,74²·2 = 44,94 W
7.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge
Antwort: vC = 13,31 V
Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.
Thévenin-Ersatzschaltung aus Sicht des Kondensators
Schließe die Quelle kurz, um Rth zu bestimmen; entferne den Kondensator, um die Spannung zu bestimmen, auf die er sich einstellt.
Rth = R1 ∥ R2 = 2,2·6,8/(2,2 + 6,8) = 1,662 kΩ
vC(∞) = 30·6,8/(2,2 + 6,8) = 22,67 V
Zeitkonstante
τ = Rth·C = 1,662·68 = 113 ms
Ladekurve
vC(t) = 22,67·(1 − e−100/113) = 13,31 V
Antwort
vC = 13,31 V
8.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge
Antwort: R = 12,43 kΩ
Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.
Erforderliche Zeitkonstante
7,2 = 9·(1 − e−200/τ) → τ = 200/ln(9/(9 − 7,2))
τ = 200/1,609 = 124,3 ms
Widerstand
kΩ mal µF ergibt Millisekunden.
R = τ/C = 124,3/10 = 12,43 kΩ
Antwort
R = 12,43 kΩ
9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger
Antwort: I = 0,3614 A
Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.
Blindwiderstände
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,15 = 471,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω
Impedanz
In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(XL − XC).
Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.
I = V/|Z| = 120/332 = 0,3614 A
Antwort
I = 0,3614 A
10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger
Antwort: f0 = 711,8 Hz
Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.
Resonanz
Bei Resonanz heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf: ωL = 1/(ωC). Die Frequenz der Versorgung spielt keine Rolle.
Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.
Strom
|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω
I = V/|Z| = 230/25 = 9,2 A
Blindleistung
Q = I²·X = 9,2²·7 = 592,5 var
Antwort
Q = 592,5 var
12.Wechselstromleistung und Leistungsfaktor
Antwort: Pmax = 78,13 W
Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.
Konjugiert komplexe Anpassung
Der Blindwiderstand der Last hebt den Blindwiderstand der Quelle auf, und der Lastwiderstand ist gleich dem Quellenwiderstand.
ZL = Zs* = 8 − j5 Ω
Maximale Leistung
I = Vs/(2Rs) = 50/16 = 3,125 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 50²/(4·8) = 78,13 W
Antwort
Pmax = 78,13 W
13.Drehstromleistung
Antwort: IL = 225,5 A
Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, VL = √3·Vph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, IL = √3·Iph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Elektrische Aufnahmeleistung
Pin = Pout/η = 110/0,88 = 125 kW
Leiterstrom
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 125000/(√3·400·0,8) = 225,5 A
Antwort
IL = 225,5 A
14.Drehstromleistung
Antwort: QC = 71,91 kvar
Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, VL = √3·Vph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, IL = √3·Iph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Blindleistungskompensation: Kondensatoren liefern Blindleistung vor Ort, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Jeder der drei Kondensatoren liefert QC/3 = V²·ω·C, wobei V die Spannung an diesem Kondensator ist: VL bei einer Dreieckbatterie, VL/√3 bei einer Sternbatterie.
Blindleistung vorher und nachher
Die Wirkleistung ändert sich nicht, daher legt jeder Leistungsfaktor die Blindleistung fest: Q = P·tan φ.
Q1 = 120·tan(acos 0,78) = 120·0,8023 = 96,27 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,98) = 120·0,2031 = 24,37 kvar
Blindleistung der Kondensatoren
QC = Q1 − Q2 = 71,91 kvar
Antwort
QC = 71,91 kvar
15.Transformatoren
Antwort: I1 = 9,6 A
Idealer Transformator: Die Spannungen verhalten sich wie die Windungszahlen, die Ströme umgekehrt: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a und I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, also ist die aufgenommene gleich der abgegebenen Leistung, V₁·I₁ = V₂·I₂. Eine Lastimpedanz Z auf der Sekundärseite erscheint von der Primärseite aus als a²·Z.
Sekundärspannung und -strom
V2 = 1200/5 = 240 V
I2 = 240/5 = 48 A
Primärstrom
Ein idealer Transformator hat keine Verluste: V₁·I₁ = V₂·I₂.
I1 = I2/5 = 9,6 A
Antwort
I1 = 9,6 A
Kontrolle: Die Last von der Primärseite aus gesehen ist a²·RL = 125 Ω, und 1200/125 ergibt denselben Strom.
16.Transformatoren
Antwort: Sη,max = 288,7 kVA
Transformatorverluste: Die Eisenverluste (Hysterese und Wirbelströme) hängen von der Spannung ab und sind bei jeder Last gleich. Die Kupferverluste in den Wicklungen wachsen mit dem Quadrat des Stroms; beim Anteil x der Nennlast betragen sie also x²·Pcu,fl. Wirkungsgrad η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), mit Pout = x·S·pf. Der Wirkungsgrad ist bei der Last am höchsten, bei der die Kupferverluste gleich den Eisenverlusten sind.