Elektrotechnik für Ingenieure: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 16 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

Knotenpotenzialverfahren

Kirchhoffsche Knotenregel: ΣI_in = ΣI_out
Zweigstrom: I = (V_a − V_b)/R
Bezugsknoten: V_ground = 0

Methode

Wähle einen Bezugsknoten (Masse) und benenne die übrigen Knotenspannungen.
Stelle an jedem unbekannten Knoten die Knotenregel auf: Die über alle Zweige abfließenden Ströme sind gleich den zufließenden.
Drücke jeden Zweigstrom als (V_a − V_b)/R aus.
Löse das Gleichungssystem und bestimme dann jeden benötigten Strom.

Thévenin und Norton

Thévenin-Spannung: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-Widerstand: R_th: alle Quellen abgeschaltet, von a–b aus gesehen
Norton-Strom: I_N = V_th/R_th
Laststrom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale Leistungsübertragung: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Entferne die Last und markiere die beiden Klemmen a und b.
Bestimme die Leerlaufspannung zwischen a und b: Das ist V_th.
Schalte alle unabhängigen Quellen ab und bestimme den Widerstand, den man von a–b aus sieht: Das ist R_th.
Schließe die Last wieder an die Ersatzschaltung an: V_th in Reihe mit R_th.
Für die Norton-Ersatzschaltung umrechnen: I_N = V_th/R_th, mit R_N = R_th parallel.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

Wechselstromleistung und Leistungsfaktor

Wirkleistung: P = V·I·cos φ
Blindleistung: Q = V·I·sin φ
Scheinleistung: S = V·I = √(P² + Q²)
Leistungsfaktor: pf = cos φ = P/S
Kompensationskondensator: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Drehstromleistung

Sternschaltung (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Dreieckschaltung (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Gesamte Wirkleistung: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Schein- und Blindleistung: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensationskondensatoren: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Spannung an jedem Kondensator: Δ: V_L Y: V_L/√3
Aufgenommene Motorleistung: P_in = P_out/η

Transformatoren

Übersetzungsverhältnis: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Stromverhältnis: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Nennstrom: I = S/V
Umgerechnete Impedanz: Z₁′ = a²·Z_L
Kupferverluste bei Teillast: P_cu = x²·P_cu,fl
Wirkungsgrad: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Maximaler Wirkungsgrad: x = √(P_core/P_cu,fl)

2Übungsaufgaben

1.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Strom I_R1, den die Quelle abgibt und der durch R₁ fließt.

V₁ = 9 VR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

2.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Strom I_R1, den die Quelle abgibt und der durch R₁ fließt.

V₁ = 24 VR₁ = 30 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 15 Ω

I_R1 = A

3.KnotenpotenzialverfahrenMittel

Bestimme mit dem Knotenpotenzialverfahren die von der Stromquelle I_s abgegebene Leistung P_Is.

V₁ = 10 VI_s = 3 AR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 20 Ω

P_Is = W

4.KnotenpotenzialverfahrenSchwer

Bestimme mit dem Knotenpotenzialverfahren den Strom I_R2 durch R₂ in Pfeilrichtung.

V₁ = 30 VI_s = 1,5 AV₂ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 20 Ω

I_R2 = A

5.Thévenin und NortonMittel

Bestimme die Thévenin-Spannung V_th an den Klemmen a–b.

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 Ω

V_th = V

6.Thévenin und NortonSchwer

Bestimme die Thévenin-Spannung V_th an den Klemmen a–b.

V₁ = 18 VI_s = 5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 Ω

V_th = V

7.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Quelle Vₛ lädt den Kondensator über R₁, und R₂ liegt parallel zu C. Der Kondensator ist ungeladen, wenn der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die Kondensatorspannung v_C bei t = 150 ms.

V_s = 9 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 100 µFt = 150 ms

v_C = V

8.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Der Schalter parallel zu R₂ ist seit Langem geschlossen, der Spulenstrom ist also konstant. Bei t = 0 öffnet der Schalter. Bestimme den Spulenstrom i bei t = 5 ms.

V_s = 12 VR₁ = 33 ΩR₂ = 33 ΩL = 220 mHt = 5 ms

i = A

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 24 V (Effektivwert) und 100 Hz. Bestimme den Phasenwinkel φ der Impedanz in Grad (positiv, wenn der Strom der Spannung nacheilt).

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

φ = °

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Ein RLC-Reihenschwingkreis wird von einer Quelle mit 10 V (Effektivwert) gespeist, deren Frequenz auf die Resonanzfrequenz der Schaltung eingestellt ist. Bestimme die Effektivspannung V_L an der Spule.

V = 10 V (rms)R = 20 ΩL = 200 mHC = 0,22 µF

V_L = V

11.Wechselstromleistung und LeistungsfaktorMittel

Eine induktive Last nimmt aus einer einphasigen Versorgung mit 120 V (Effektivwert) 11,5 A und 1104 W auf. Modelliere sie als Widerstand R in Reihe mit einem Blindwiderstand X. Bestimme R.

V = 120 VI = 11,5 AP = 1104 W

R = Ω

12.Wechselstromleistung und LeistungsfaktorSchwer

Ein einphasiger Transformator mit 100 kVA versorgt eine Last mit 45 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,7 induktiv. Wie viel zusätzliche Wirkleistung ΔP kann als ohmsche Last (Leistungsfaktor 1) hinzukommen, bevor der Transformator seine kVA-Nennleistung erreicht?

S_max = 100 kVAP₁ = 45 kWpf₁ = 0,7

ΔP = kW

13.DrehstromleistungMittel

Ein Drehstrom-Asynchronmotor gibt bei Volllast 45 kW mechanische Leistung ab. Bei dieser Last beträgt sein Wirkungsgrad 92 % und sein Leistungsfaktor 0,88 induktiv. Das Netz hat eine Leiterspannung von 480 V. Bestimme den Leiterstrom I_L.

P_out = 45 kWη = 92%cos φ = 0,88V_L = 480 V

I_L = A

14.DrehstromleistungSchwer

Eine symmetrische Drehstromlast nimmt 80 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,75 induktiv aus einem Netz mit 415 V (Leiterspannung) und 60 Hz auf. Eine parallel zur Last geschaltete Drehstrom-Kondensatorbatterie soll den Gesamtleistungsfaktor auf 0,98 induktiv anheben. Die Wirkleistung bleibt gleich. Bestimme die gesamte Blindleistung Q_C, die die Kondensatorbatterie liefern muss, in kvar.

P = 80 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,98V_L = 415 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

15.TransformatorenMittel

An die Sekundärwicklung eines idealen Transformators mit dem Übersetzungsverhältnis N₁:N₂ = 10:1 ist ein Widerstand von 10 Ω angeschlossen. Bestimme den Widerstand R_1′, den man in die Primärwicklung hinein sieht.

N₁:N₂ = 10:1R_L = 10 Ω

R_1′ = Ω

16.TransformatorenSchwer

Ein einphasiger Transformator mit 50 kVA hat Eisenverluste von 250 W. Bei Nennlast und einem Leistungsfaktor von 0,9 induktiv beträgt sein Wirkungsgrad 98,2 %. Bestimme die Kupferverluste P_cu,fl bei Volllast in Watt.

S = 50 kVAP_core = 250 Wpf = 0,9η = 98,2%

P_cu,fl = W

3Lösungen

1.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R1 = 0,9028 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 15 + 2 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 15·17/(15+17) = 7,969 Ω

R_eq = R₁ + 7,969 = 2 + 7,969 = 9,969 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/9,969 = 0,9028 A

Antwort

I_R1 = 0,9028 A

2.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R1 = 0,6862 A

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 25 + 15 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 4,444 Ω

R₃ + 4,444 = 7,444 Ω

R₂ ∥ 7,444 = 4,975 Ω

R_eq = R₁ + 4,975 = 30 + 4,975 = 34,98 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/34,98 = 0,6862 A

Antwort

I_R1 = 0,6862 A

3.Knotenpotenzialverfahren

Antwort: P_Is = 64,93 W

Knotenpotenzialverfahren: Wähle einen Bezugsknoten, benenne die unbekannten Knotenpotenziale, stelle an jedem unbekannten Knoten die Kirchhoffsche Knotenregel mit dem ohmschen Gesetz (I = ΔV/R) auf und löse das entstehende Gleichungssystem.

KCL am Knoten A

Die Ströme, die A über die Widerstände verlassen, sind gleich dem Strom, den die Quellen in A einspeisen.

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/8 + (V_A − 10)/5 + (V_A − V_B)/5 = 0

0,525·V_A − 0,2·V_B = 2

KCL am Knoten B

Die Ströme, die B über die Widerstände verlassen, sind gleich dem Strom, den die Quellen in B einspeisen.

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/20 + (V_B − V_A)/5 = 3

−0,2·V_A + 0,25·V_B = 3

Lösen

Δ = (0,525)(0,25) − (−0,2)(−0,2) = 0,09125

V_A = Δ₁/Δ = 1,1/0,09125 = 12,05 V

V_B = Δ₂/Δ = 1,975/0,09125 = 21,64 V

Von der Stromquelle abgegebene Leistung

Die Quelle schiebt Iₛ nach oben in den Knoten B, von Masse (0 V) auf V_B. Eine Quelle, deren Strom an ihrem Pluspol austritt, gibt P = V·I ab.

P_Is = V_B·I_s = 21,64·3 = 64,93 W

Antwort

P_Is = 64,93 W

4.Knotenpotenzialverfahren

Antwort: I_R2 = 0,8889 A

Knoten festlegen

Masse ist der untere Leiter. Bekannte Knotenpotenziale ergeben sich direkt aus den Quellen (V₁ = 30 V, V₂ = 30 V). Unbekannt: V_A, V_B.

KCL am Knoten A

Die Ströme, die A über die Widerstände verlassen, sind gleich dem Strom, den die Quellen in A einspeisen.

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/3 + (V_A − 30)/6 + (V_A − V_B)/4 = 0

0,75·V_A − 0,25·V_B = 5

KCL am Knoten B

Die Ströme, die B über die Widerstände verlassen, sind gleich dem Strom, den die Quellen in B einspeisen.

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/20 + (V_B − V_A)/4 + (V_B − 30)/30 = (−1,5)

−0,25·V_A + 0,3333·V_B = −0,5

Lösen

Δ = (0,75)(0,3333) − (−0,25)(−0,25) = 0,1875

V_A = Δ₁/Δ = 1,542/0,1875 = 8,222 V

V_B = Δ₂/Δ = 0,875/0,1875 = 4,667 V

Antwort

I_R2 = (V_A − V_B)/R₂ = (8,222 − 4,667)/4 = 0,8889 A

5.Thévenin und Norton

Antwort: V_th = 10,59 V

Satz von Thévenin: Jedes lineare Zweipolnetzwerk verhält sich wie eine einzige Spannungsquelle V_th in Reihe mit einem Widerstand R_th. Der Satz von Norton beschreibt dasselbe Netzwerk als Stromquelle I_N = V_th/R_th parallel zu R_th.

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.

R₁ ∥ R₂ = 2·15/(2+15) = 1,765 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,765 + 3 = 4,765 Ω

V_th bestimmen, die Leerlaufspannung

Bei offenen Klemmen a–b fließt kein Strom durch R₃, also fällt daran keine Spannung ab und V_b = V_A. R₁ und R₂ bilden einen Spannungsteiler.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·15/(2+15) = 10,59 V

6.Thévenin und Norton

Antwort: V_th = 89 V

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.

R₁ ∥ R₂ = 12·12/(12+12) = 6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6 + 10 = 16 Ω

V_th bestimmen, die Leerlaufspannung

Bei offenen Klemmen a–b fließt Iₛ nur über R₃ in Knoten A. Bestimme V_A durch Überlagerung von V₁ und Iₛ und addiere dann den Spannungsabfall an R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 9 + 5·6 = 39 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 39 + 5·10 = 89 V

7.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: v_C = 1,444 V

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Thévenin-Ersatzschaltung aus Sicht des Kondensators

Schließe die Quelle kurz, um R_th zu bestimmen; entferne den Kondensator, um die Spannung zu bestimmen, auf die er sich einstellt.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·3,3/(6,8 + 3,3) = 2,222 kΩ

v_C(∞) = 9·3,3/(6,8 + 3,3) = 2,941 V

Zeitkonstante

τ = R_th·C = 2,222·100 = 222,2 ms

Ladekurve

v_C(t) = 2,941·(1 − e^−150/222,2) = 1,444 V

Antwort

v_C = 1,444 V

8.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: i = 0,2224 A

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Vor t = 0 überbrückt der geschlossene Schalter R₂; danach liegen R₁ und R₂ beide im Kreis.

i(0) = 12/33 = 0,3636 A

i(∞) = 12/(33 + 33) = 0,1818 A

τ = L/R = 220/66 = 3,333 ms

i(t) = 0,1818 + (0,3636 − 0,1818)·e^−t/τ

Strom zum gegebenen Zeitpunkt

i(5) = 0,1818 + (0,1818)·e^−5/3,333 = 0,2224 A

Antwort

i = 0,2224 A

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: φ = −78,95 °

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,05 = 31,42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·4,7·10⁻⁶) = 338,6 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−307,2)²) = 313 Ω

Phasenwinkel

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−307,2/60) = −78,95°

Antwort

φ = −78,95°

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: V_L = 476,7 V

Resonanz

Bei Resonanz heben sich die Blindwiderstände auf, die Impedanz ist also nur R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,2·0,22·10⁻⁶) = 4767 rad/s

I = V/R = 10/20 = 0,5 A

Spannung an der Spule

X_L = ω₀L = 4767·0,2 = 953,5 Ω

V_L = I·X_L = 0,5·953,5 = 476,7 V

Antwort

V_L = 476,7 V

Das ist das Q = 47,67-Fache der Versorgungsspannung.

11.Wechselstromleistung und Leistungsfaktor

Antwort: R = 8,348 Ω

Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.

Widerstand aus der Wirkleistung

R = P/I² = 1104/11,5² = 8,348 Ω

Antwort

R = 8,348 Ω

12.Wechselstromleistung und Leistungsfaktor

Antwort: ΔP = 43,84 kW

Blindleistung der vorhandenen Last

Q₁ = 45·tan(arccos 0,7) = 45,91 kvar

Größte gesamte Wirkleistung

Bei voller Nennleistung ist S = S_max, und Q bleibt durch die ohmsche Last unverändert.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(100² − 45,91²) = 88,84 kW

Zusätzliche Wirkleistung

ΔP = 88,84 − 45 = 43,84 kW

Antwort

ΔP = 43,84 kW

13.Drehstromleistung

Antwort: I_L = 66,86 A

Elektrische Aufnahmeleistung

P_in = P_out/η = 45/0,92 = 48,91 kW

Leiterstrom

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 48913/(√3·480·0,88) = 66,86 A

Antwort

I_L = 66,86 A

14.Drehstromleistung

Antwort: Q_C = 54,31 kvar

Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, V_L = √3·V_ph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, I_L = √3·I_ph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Blindleistungskompensation: Kondensatoren liefern Blindleistung vor Ort, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Jeder der drei Kondensatoren liefert Q_C/3 = V²·ω·C, wobei V die Spannung an diesem Kondensator ist: V_L bei einer Dreieckbatterie, V_L/√3 bei einer Sternbatterie.

Blindleistung vorher und nachher

Die Wirkleistung ändert sich nicht, daher legt jeder Leistungsfaktor die Blindleistung fest: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,75) = 80·0,8819 = 70,55 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,98) = 80·0,2031 = 16,24 kvar

Blindleistung der Kondensatoren

Q_C = Q₁ − Q₂ = 54,31 kvar

Antwort

Q_C = 54,31 kvar

15.Transformatoren

Antwort: R_1′ = 1000 Ω

Idealer Transformator: Die Spannungen verhalten sich wie die Windungszahlen, die Ströme umgekehrt: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a und I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, also ist die aufgenommene gleich der abgegebenen Leistung, V₁·I₁ = V₂·I₂. Eine Lastimpedanz Z auf der Sekundärseite erscheint von der Primärseite aus als a²·Z.

Umgerechneter Widerstand

Die Spannung steigt um den Faktor a und der Strom sinkt um a, also steigt das Verhältnis V/I um a².

R_1′ = a²·R_L = 10²·10 = 1000 Ω

Antwort

R_1′ = 1000 Ω

16.Transformatoren

Antwort: P_cu,fl = 574,8 W

Transformatorverluste: Die Eisenverluste (Hysterese und Wirbelströme) hängen von der Spannung ab und sind bei jeder Last gleich. Die Kupferverluste in den Wicklungen wachsen mit dem Quadrat des Stroms; beim Anteil x der Nennlast betragen sie also x²·P_cu,fl. Wirkungsgrad η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), mit P_out = x·S·pf. Der Wirkungsgrad ist bei der Last am höchsten, bei der die Kupferverluste gleich den Eisenverlusten sind.

Abgabe- und Aufnahmeleistung

P_out = 50·0,9 = 45 kW

P_in = 45000/0,982 = 45825 W

Gesamt- und Kupferverluste

P_loss = 45825 − 45000 = 824,8 W

P_cu,fl = 824,8 − 250 = 574,8 W

Antwort

P_cu,fl = 574,8 W

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals

Elektrotechnik für Ingenieure: Lernpaket

1Formeln und Methoden

Reihen- und Parallelschaltung

Methode

Knotenpotenzialverfahren

Methode

Thévenin und Norton

Methode

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Methode

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Methode

Wechselstromleistung und Leistungsfaktor

Drehstromleistung

Transformatoren

2Übungsaufgaben

3Lösungen

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Strom aus der Quelle

Antwort

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Strom aus der Quelle

Antwort

KCL am Knoten A

KCL am Knoten B

Lösen

Von der Stromquelle abgegebene Leistung

Antwort

Knoten festlegen

KCL am Knoten A

KCL am Knoten B

Lösen

Antwort

Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Vth bestimmen, die Leerlaufspannung

Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Vth bestimmen, die Leerlaufspannung

Thévenin-Ersatzschaltung aus Sicht des Kondensators

Zeitkonstante

Ladekurve

Antwort

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Strom zum gegebenen Zeitpunkt

Antwort

Blindwiderstände

Impedanz

Phasenwinkel

Antwort

Resonanz

Spannung an der Spule

Antwort

Widerstand aus der Wirkleistung

Antwort

Blindleistung der vorhandenen Last

Größte gesamte Wirkleistung

Zusätzliche Wirkleistung

Antwort

Elektrische Aufnahmeleistung

Leiterstrom

Antwort

Blindleistung vorher und nachher

Blindleistung der Kondensatoren

Antwort

Umgerechneter Widerstand

Antwort

Abgabe- und Aufnahmeleistung

Gesamt- und Kupferverluste

Antwort

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

V_th bestimmen, die Leerlaufspannung

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

V_th bestimmen, die Leerlaufspannung