Elektrotechnik für Ingenieure: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 16 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

Knotenpotenzialverfahren

Kirchhoffsche Knotenregel: ΣI_in = ΣI_out
Zweigstrom: I = (V_a − V_b)/R
Bezugsknoten: V_ground = 0

Methode

Wähle einen Bezugsknoten (Masse) und benenne die übrigen Knotenspannungen.
Stelle an jedem unbekannten Knoten die Knotenregel auf: Die über alle Zweige abfließenden Ströme sind gleich den zufließenden.
Drücke jeden Zweigstrom als (V_a − V_b)/R aus.
Löse das Gleichungssystem und bestimme dann jeden benötigten Strom.

Thévenin und Norton

Thévenin-Spannung: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-Widerstand: R_th: alle Quellen abgeschaltet, von a–b aus gesehen
Norton-Strom: I_N = V_th/R_th
Laststrom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale Leistungsübertragung: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Entferne die Last und markiere die beiden Klemmen a und b.
Bestimme die Leerlaufspannung zwischen a und b: Das ist V_th.
Schalte alle unabhängigen Quellen ab und bestimme den Widerstand, den man von a–b aus sieht: Das ist R_th.
Schließe die Last wieder an die Ersatzschaltung an: V_th in Reihe mit R_th.
Für die Norton-Ersatzschaltung umrechnen: I_N = V_th/R_th, mit R_N = R_th parallel.

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

Wechselstromleistung und Leistungsfaktor

Wirkleistung: P = V·I·cos φ
Blindleistung: Q = V·I·sin φ
Scheinleistung: S = V·I = √(P² + Q²)
Leistungsfaktor: pf = cos φ = P/S
Kompensationskondensator: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Drehstromleistung

Sternschaltung (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Dreieckschaltung (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Gesamte Wirkleistung: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Schein- und Blindleistung: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensationskondensatoren: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Spannung an jedem Kondensator: Δ: V_L Y: V_L/√3
Aufgenommene Motorleistung: P_in = P_out/η

Transformatoren

Übersetzungsverhältnis: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Stromverhältnis: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Nennstrom: I = S/V
Umgerechnete Impedanz: Z₁′ = a²·Z_L
Kupferverluste bei Teillast: P_cu = x²·P_cu,fl
Wirkungsgrad: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Maximaler Wirkungsgrad: x = √(P_core/P_cu,fl)

2Übungsaufgaben

1.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

2.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Ersatzwiderstand R_eq, den die Quelle V₁ sieht.

V₁ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 4 Ω

R_eq = Ω

3.KnotenpotenzialverfahrenMittel

Bestimme mit dem Knotenpotenzialverfahren die von der Stromquelle I_s abgegebene Leistung P_Is.

V₁ = 24 VI_s = 1,5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 15 Ω

P_Is = W

4.KnotenpotenzialverfahrenSchwer

Bestimme mit dem Knotenpotenzialverfahren das Knotenpotenzial V_B (gegen Masse gemessen).

V₁ = 5 VI_s = 4 AV₂ = 36 VR₁ = 4 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 6 Ω

V_B = V

5.Thévenin und NortonMittel

Bestimme die Thévenin-Spannung V_th an den Klemmen a–b.

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 Ω

V_th = V

6.Thévenin und NortonSchwer

Bestimme die Thévenin-Spannung V_th an den Klemmen a–b.

V₁ = 30 VI_s = 1,5 AR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 10 Ω

V_th = V

7.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt einen konstanten Strom von 0,5 A. Bei t = 0 schließt der Schalter den Kreis über R, und die Quelle wird abgetrennt, der Spulenstrom klingt also über R ab. Wie lange dauert es, bis der Strom auf 0,125 A gefallen ist? Bestimme t.

i(0) = 0,5 AR = 22 ΩL = 220 mH

t = ms

8.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 8 V mit der eingezeichneten Polarität. Wie lange dauert es, bis v_C den Wert 11,2 V erreicht? Bestimme t.

V_s = 12 VR = 1 kΩC = 220 µFv_C(0) = 8 V

t = ms

9.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 230 V (Effektivwert) und 50 Hz. Bestimme die aus der Versorgung aufgenommene Wirkleistung P.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 100 µF

P = W

10.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 230 V (Effektivwert) und 200 Hz. Bestimme den Effektivwert des Stroms I.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 200 mHC = 2,2 µF

I = A

11.Wechselstromleistung und LeistungsfaktorMittel

Ein Einphasenmotor nimmt 30 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,85 induktiv aus einer 240-V-Versorgung auf. Bestimme den Leiterstrom I.

P = 30 kWpf = 0,85V = 240 V

I = A

12.Wechselstromleistung und LeistungsfaktorSchwer

Eine einphasige Last nimmt 10 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,7 induktiv aus einer Versorgung mit 400 V und 50 Hz auf. Ein parallel geschalteter Kondensator hebt den Leistungsfaktor auf 0,9. Bestimme die Blindleistung Q_C, die der Kondensator liefern muss.

P = 10 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,9V = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

13.DrehstromleistungMittel

Eine symmetrische Last in Sternschaltung mit einer Impedanz von 12 + j16 Ω pro Strang ist an ein symmetrisches Drehstromnetz mit einer Leiterspannung von 208 V angeschlossen. Bestimme die gesamte Wirkleistung P, die die Last aufnimmt, in kW.

V_L = 208 VZ = 12 + j16 Ω pro Strang

P = kW

14.DrehstromleistungSchwer

Eine symmetrische Drehstromlast nimmt 75 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,78 induktiv aus einem Netz mit 400 V (Leiterspannung) und 60 Hz auf. Eine parallel zur Last geschaltete Drehstrom-Kondensatorbatterie soll den Gesamtleistungsfaktor auf 0,98 induktiv anheben. Die Wirkleistung bleibt gleich. Die Kondensatoren sind im Dreieck geschaltet. Bestimme die Kapazität C_ph jedes Kondensators in µF.

P = 75 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,98V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

15.TransformatorenMittel

Ein einphasiger Transformator mit 100 kVA und 7200/240 V wird bei Nennlast betrieben. Betrachte ihn als ideal. Bestimme den Strom I_LV in der Unterspannungswicklung.

S = 100 kVAV₁ = 7200 VV₂ = 240 V

I_LV = A

16.TransformatorenSchwer

Ein einphasiger Transformator mit 75 kVA hat Eisenverluste von 375 W und Kupferverluste von 1125 W bei Nennlast. Bei welcher Last S_η,max, in kVA, ist sein Wirkungsgrad am höchsten?

S = 75 kVAP_core = 375 WP_cu,fl = 1125 W

S_η,max = kVA

3Lösungen

1.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 1,375 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 2 + 20 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 4·22/(4+22) = 3,385 Ω

R_eq = R₁ + 3,385 = 4 + 3,385 = 7,385 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/7,385 = 1,625 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1,625·4 = 5,5 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,5/4 = 1,375 A

Antwort

I_R2 = 1,375 A

2.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: R_eq = 8,286 Ω

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 30 + 4 = 34 Ω

R₄ ∥ 34 = 10,41 Ω

R₃ + 10,41 = 18,41 Ω

R₂ ∥ 18,41 = 3,286 Ω

R_eq = R₁ + 3,286 = 5 + 3,286 = 8,286 Ω

Antwort

R_eq = 8,286 Ω

3.Knotenpotenzialverfahren

Antwort: P_Is = 22,65 W

Knotenpotenzialverfahren: Wähle einen Bezugsknoten, benenne die unbekannten Knotenpotenziale, stelle an jedem unbekannten Knoten die Kirchhoffsche Knotenregel mit dem ohmschen Gesetz (I = ΔV/R) auf und löse das entstehende Gleichungssystem.

KCL am Knoten A

Die Ströme, die A über die Widerstände verlassen, sind gleich dem Strom, den die Quellen in A einspeisen.

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/3 + (V_A − 24)/15 + (V_A − V_B)/20 = 0

0,45·V_A − 0,05·V_B = 1,6

KCL am Knoten B

Die Ströme, die B über die Widerstände verlassen, sind gleich dem Strom, den die Quellen in B einspeisen.

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/15 + (V_B − V_A)/20 = 1,5

−0,05·V_A + 0,1167·V_B = 1,5

Lösen

Δ = (0,45)(0,1167) − (−0,05)(−0,05) = 0,05

V_A = Δ₁/Δ = 0,2617/0,05 = 5,233 V

V_B = Δ₂/Δ = 0,755/0,05 = 15,1 V

Von der Stromquelle abgegebene Leistung

Die Quelle schiebt Iₛ nach oben in den Knoten B, von Masse (0 V) auf V_B. Eine Quelle, deren Strom an ihrem Pluspol austritt, gibt P = V·I ab.

P_Is = V_B·I_s = 15,1·1,5 = 22,65 W

Antwort

P_Is = 22,65 W

4.Knotenpotenzialverfahren

Antwort: V_B = 19,37 V

Knoten festlegen

Masse ist der untere Leiter. Bekannte Knotenpotenziale ergeben sich direkt aus den Quellen (V₁ = 5 V, V₂ = 36 V). Unbekannt: V_A, V_B.

KCL am Knoten A

Die Ströme, die A über die Widerstände verlassen, sind gleich dem Strom, den die Quellen in A einspeisen.

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/20 + (V_A − 5)/4 + (V_A − V_B)/2 = 0

0,8·V_A − 0,5·V_B = 1,25

KCL am Knoten B

Die Ströme, die B über die Widerstände verlassen, sind gleich dem Strom, den die Quellen in B einspeisen.

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/6 + (V_B − V_A)/2 + (V_B − 36)/8 = 4

−0,5·V_A + 0,7917·V_B = 8,5

Lösen

Δ = (0,8)(0,7917) − (−0,5)(−0,5) = 0,3833

V_A = Δ₁/Δ = 5,24/0,3833 = 13,67 V

V_B = Δ₂/Δ = 7,425/0,3833 = 19,37 V

Antwort

V_B = 19,37 V

5.Thévenin und Norton

Antwort: V_th = 15 V

Satz von Thévenin: Jedes lineare Zweipolnetzwerk verhält sich wie eine einzige Spannungsquelle V_th in Reihe mit einem Widerstand R_th. Der Satz von Norton beschreibt dasselbe Netzwerk als Stromquelle I_N = V_th/R_th parallel zu R_th.

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.

R₁ ∥ R₂ = 20·20/(20+20) = 10 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 10 + 5 = 15 Ω

V_th bestimmen, die Leerlaufspannung

Bei offenen Klemmen a–b fließt kein Strom durch R₃, also fällt daran keine Spannung ab und V_b = V_A. R₁ und R₂ bilden einen Spannungsteiler.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·20/(20+20) = 15 V

6.Thévenin und Norton

Antwort: V_th = 35 V

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.

R₁ ∥ R₂ = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,444 + 10 = 14,44 Ω

V_th bestimmen, die Leerlaufspannung

Bei offenen Klemmen a–b fließt Iₛ nur über R₃ in Knoten A. Bestimme V_A durch Überlagerung von V₁ und Iₛ und addiere dann den Spannungsabfall an R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 13,33 + 1,5·4,444 = 20 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 20 + 1,5·10 = 35 V

7.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 13,86 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante

τ = L/R = 220 mH / 22 Ω = 10 ms

Nach der Zeit auflösen

0,125 = 0,5·e^−t/τ → t = τ·ln(0,5/0,125)

t = 10·ln(4) = 13,86 ms

Antwort

t = 13,86 ms

8.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 354,1 ms

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 1 kΩ · 220 µF = 220 ms

v_C(t) = 12 + (8 − 12)·e^−t/τ

Nach der Zeit auflösen

11,2 = 12 + (−4)·e^−t/τ → e^−t/τ = (11,2 − 12)/(8 − 12) = 0,2

t = τ·ln((8 − 12)/(11,2 − 12)) = 220·ln(5) = 354,1 ms

Antwort

t = 354,1 ms

9.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: P = 1603 W

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

X_L = 15,71 Ω, X_C = 31,83 Ω

Impedanz

|Z| = √(20² + (−16,12)²) = 25,69 Ω

Wirkleistung

Spulen und Kondensatoren speichern Energie nur und geben sie zurück; der Widerstand nimmt die gesamte Wirkleistung auf.

I = 230/25,69 = 8,953 A

P = I²·R = 8,953²·20 = 1603 W

Antwort

P = 1603 W

10.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: I = 2,05 A

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (−110,4)²) = 112,2 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 230/112,2 = 2,05 A

Antwort

I = 2,05 A

11.Wechselstromleistung und Leistungsfaktor

Antwort: I = 147,1 A

Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.

Leiterstrom

Nur der Wirkanteil der Leistung verrichtet Arbeit, also teile durch den Leistungsfaktor.

I = P/(V·cos φ) = 30000/(240·0,85) = 147,1 A

Antwort

I = 147,1 A

12.Wechselstromleistung und Leistungsfaktor

Antwort: Q_C = 5,359 kvar

Blindleistung vorher und nachher

Die Wirkleistung P ändert sich nicht; nur die aus dem Netz bezogene Blindleistung ändert sich.

Q₁ = P·tan φ₁ = 10·tan(45,57°) = 10,2 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 10·tan(25,84°) = 4,843 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 5,359 kvar

Antwort

Q_C = 5,359 kvar

13.Drehstromleistung

Antwort: P = 1,298 kW

Strangspannung

V_ph = 208/√3 = 120,1 V

Strangstrom

|Z| = √(12² + 16²) = 20 Ω

I_ph = 120,1/20 = 6,004 A

Gesamte Wirkleistung

Nur der ohmsche Anteil jeder Impedanz nimmt Wirkleistung auf.

P = 3·I_ph²·R = 3·6,004²·12 = 1,298 kW

Antwort

P = 1,298 kW

Kontrolle: cos φ = R/|Z| = 0,6, und √3·V_L·I_L·cos φ ergibt dieselbe Leistung.

14.Drehstromleistung

Antwort: C_ph = 248,4 µF

Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, V_L = √3·V_ph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, I_L = √3·I_ph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Blindleistungskompensation: Kondensatoren liefern Blindleistung vor Ort, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Jeder der drei Kondensatoren liefert Q_C/3 = V²·ω·C, wobei V die Spannung an diesem Kondensator ist: V_L bei einer Dreieckbatterie, V_L/√3 bei einer Sternbatterie.

Blindleistung vorher und nachher

Die Wirkleistung ändert sich nicht, daher legt jeder Leistungsfaktor die Blindleistung fest: Q = P·tan φ.

Q₁ = 75·tan(acos 0,78) = 75·0,8023 = 60,17 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0,98) = 75·0,2031 = 15,23 kvar

Blindleistung der Kondensatoren

Q_C = Q₁ − Q₂ = 44,94 kvar

Kapazität pro Strang

In einer Dreieckbatterie ist jeder Kondensator zwischen zwei Außenleiter geschaltet.

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 14981/(377·400²) = 248,4 µF

Antwort

C_ph = 248,4 µF

15.Transformatoren

Antwort: I_LV = 416,7 A

Idealer Transformator: Die Spannungen verhalten sich wie die Windungszahlen, die Ströme umgekehrt: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a und I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, also ist die aufgenommene gleich der abgegebenen Leistung, V₁·I₁ = V₂·I₂. Eine Lastimpedanz Z auf der Sekundärseite erscheint von der Primärseite aus als a²·Z.

Nennstrom

Beide Wicklungen führen dieselbe Scheinleistung.

I_LV = S/V = 100000/240 = 416,7 A

Antwort

I_LV = 416,7 A

16.Transformatoren

Antwort: S_η,max = 43,3 kVA

Transformatorverluste: Die Eisenverluste (Hysterese und Wirbelströme) hängen von der Spannung ab und sind bei jeder Last gleich. Die Kupferverluste in den Wicklungen wachsen mit dem Quadrat des Stroms; beim Anteil x der Nennlast betragen sie also x²·P_cu,fl. Wirkungsgrad η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), mit P_out = x·S·pf. Der Wirkungsgrad ist bei der Last am höchsten, bei der die Kupferverluste gleich den Eisenverlusten sind.

Kupferverluste gleich Eisenverluste

x²·1125 = 375 → x = √(375/1125) = 0,5774

Last bei maximalem Wirkungsgrad

S_η,max = x·S = 0,5774·75 = 43,3 kVA

Antwort

S_η,max = 43,3 kVA

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals

Elektrotechnik für Ingenieure: Lernpaket

1Formeln und Methoden

Reihen- und Parallelschaltung

Methode

Knotenpotenzialverfahren

Methode

Thévenin und Norton

Methode

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Methode

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Methode

Wechselstromleistung und Leistungsfaktor

Drehstromleistung

Transformatoren

2Übungsaufgaben

3Lösungen

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Strom aus der Quelle

Strom durch R₂

Antwort

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Antwort

KCL am Knoten A

KCL am Knoten B

Lösen

Von der Stromquelle abgegebene Leistung

Antwort

Knoten festlegen

KCL am Knoten A

KCL am Knoten B

Lösen

Antwort

Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Vth bestimmen, die Leerlaufspannung

Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Vth bestimmen, die Leerlaufspannung

Zeitkonstante

Nach der Zeit auflösen

Antwort

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Nach der Zeit auflösen

Antwort

Blindwiderstände

Impedanz

Wirkleistung

Antwort

Blindwiderstände

Impedanz

Strom

Antwort

Leiterstrom

Antwort

Blindleistung vorher und nachher

Antwort

Strangspannung

Strangstrom

Gesamte Wirkleistung

Antwort

Blindleistung vorher und nachher

Blindleistung der Kondensatoren

Kapazität pro Strang

Antwort

Nennstrom

Antwort

Kupferverluste gleich Eisenverluste

Last bei maximalem Wirkungsgrad

Antwort

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

V_th bestimmen, die Leerlaufspannung

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

V_th bestimmen, die Leerlaufspannung