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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Eine Fall-Kontroll-Studie vergleicht 350 Patienten mit einer Erkrankung (Fälle) und 70 Personen ohne sie (Kontrollen). Die Tabelle zeigt, wie viele in jeder Gruppe gegenüber einem Risikofaktor exponiert waren. Bestimme die Odds Ratio OR für die Exposition. Runde auf zwei Nachkommastellen.
a = 35b = 15c = 315d = 55
OR =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). 10 000 Personen werden mit einem Test mit einer Sensitivität von 95 % und einer Spezifität von 95 % untersucht. Die Prävalenz der Erkrankung beträgt 7 %. Wie viele richtig positive Ergebnisse TP sind zu erwarten?
N = 10 000p = 7%Se = 95%Sp = 95%
TP =
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 56, 10, 17, 58, 12.
n = 5
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Eine Größe ist normalverteilt mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 5. Welcher Anteil P der Werte liegt unter 103?
μ = 100σ = 5x = 103
P =
5.KonfidenzintervalleMittel
Der Blutdruck von 11 Patienten wird vor und nach einer Behandlung gemessen. Die Differenzen d = vorher − nachher (mmHg) haben den Mittelwert 8,4 und die Standardabweichung 4,1. Bestimme die obere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für die mittlere Differenz.
n = 11d̄ = 8,4sd = 4,190%t(10) = 1,812
obere Grenze = mmHg
6.KonfidenzintervalleSchwer
Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 39. Wie groß muss die Stichprobe n sein, damit ein 90-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 0,5 hat?
σ = 39E = 0,590%
n =
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
Der Mittelwert einer Grundgesamtheit soll 80 betragen; die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist bekanntermaßen 10. Eine Zufallsstichprobe von 100 Beobachtungen hat den Mittelwert 81. Teste H₀: μ = 80 gegen H₁: μ > 80. Bestimme den p-Wert p.
μ₀ = 80σ = 10n = 100x̄ = 81H₁: μ > μ₀
p =
8.Hypothesentests & KonfidenzintervalleSchwer
Wie groß muss eine Stichprobe sein, damit das 95-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert eine Fehlermarge von höchstens 1 hat? Die Standardabweichung ist 20. Bestimme den kleinsten Stichprobenumfang n.
σ = 20E = 195%
n =
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: OR = 0,41
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Odds der Exposition
Fälle: 35/315 = 0,1111
Kontrollen: 15/55 = 0,2727
Odds Ratio
OR = (35·55)/(15·315) = 0,4074 ≈ 0,41
Antwort
OR = 0,41
OR unter 1: Die Exposition ist bei den Fällen seltener, was auf einen Schutzeffekt hindeutet.
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: TP = 665
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Mit und ohne Erkrankung
10 000·0,07 = 700
10 000 − 700 = 9300
Richtig Positive
TP = 700·0,95 = 665
Antwort
TP = 665
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 24,24
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = 0,6
Standardnormalverteilungstabelle
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Antwort
P = 0,7257
5.Konfidenzintervalle
Antwort: obere Grenze = 10,64 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritischer Wert
df = 10, t = 1,812
Fehlermarge
E = 1,812·4,1/√11 = 2,24
Intervall
8,4 ± 2,24 → [6,16, 10,64]
Antwort
obere Grenze = 10,64 mmHg
6.Konfidenzintervalle
Antwort: n = 16464
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Nach n auflösen
n = (1,645·39/0,5)² = 16463
Aufrunden
Ein Stichprobenumfang ist eine ganze Zahl, und Abrunden würde die Fehlermarge zu groß machen.
n = 16464
Antwort
n = 16464
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: p = 0,1587
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Teststatistik
SE = σ/√n = 10/√100 = 1
z = (81 − 80)/1 = 1
Endfläche
Φ(1) = 0,8413
1 − Φ(1) = 0,1587
p-Wert
p = 0,1587
Antwort
p = 0,1587
p > 0,05, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau nicht verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: n = 1537
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).