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1Formeln und Methoden
Statistik der evidenzbasierten Praxis
Sensitivität und Spezifität
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
Prädiktive Werte
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
Genauigkeit
(a + d)/n
Likelihood-Ratios
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
PPV bei Prävalenz p
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
Odds
Odds = p/(1 − p); p = Odds/(1 + Odds); Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR
Risikomaße
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
Number needed to treat
NNT = 1/ARR, aufgerundet; NNH = 1/(EER − CER)
Odds Ratio
OR = ad/(bc)
Inzidenzrate
neue Fälle / Personenzeit
Methode
Zeichne die Vierfeldertafel und beschrifte a, b, c und d, bevor du rechnest.
Lies Sensitivität und Spezifität spaltenweise ab, prädiktive Werte zeilenweise.
Stell dir bei einer anderen Prävalenz 10 000 Personen vor und fülle die Tafel mit Se, Sp und der Prävalenz.
Rechne bei einer Likelihood-Ratio die Wahrscheinlichkeit in Odds um, multipliziere und rechne zurück.
Bestimme bei einer Studie zuerst EER und CER; dann RR = EER/CER, ARR = CER − EER und NNT = 1/ARR aufgerundet.
Beschreibende Statistik
Mittelwert
x̄ = Σx/n
Stichproben-Standardabweichung
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
mittlerer Wert der sortierten Daten
z-Wert
z = (x − μ)/σ
Normalverteilung
68% innerhalb ±1σ, 95% innerhalb ±2σ
Konfidenzintervalle
σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up
Methode
Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
Intervall: x̄ ± E.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle
z-Test für einen Mittelwert
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-Test für einen Mittelwert
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Zweiseitig bei 5%
H0 ablehnen, wenn |z| > 1,96
Konfidenzintervall
x̄ ± z·σ/√n
Methode
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
2Übungsaufgaben
1.Statistik der evidenzbasierten PraxisMittel
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). Ein Test hat eine Sensitivität von 75 % und eine Spezifität von 97 %. Bestimme die positive Likelihood-Ratio LR+. Runde auf zwei Nachkommastellen.
Se = 75%Sp = 97%
LR+ =
2.Statistik der evidenzbasierten PraxisSchwer
Übungsaufgabe (erfundene Werte, keine klinische Empfehlung). 10 000 Personen werden mit einem Test mit einer Sensitivität von 72 % und einer Spezifität von 96 % untersucht. Die Prävalenz der Erkrankung beträgt 21 %. Wie viele Erkrankte werden vom Test übersehen (falsch Negative, FN)?
N = 10 000p = 21%Se = 72%Sp = 96%
FN =
3.Beschreibende StatistikMittel
Bestimme die Stichproben-Standardabweichung s der Daten: 11, 47, 41, 25, 52.
n = 5
s =
4.Beschreibende StatistikSchwer
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit Mittelwert 500 und Standardabweichung 75. Bestimme den z-Wert z eines Ergebnisses von 462,5.
μ = 500σ = 75x = 462,5
z =
5.KonfidenzintervalleMittel
Eine Stichprobe von 15 Elementen hat den Mittelwert 111,5 und die Standardabweichung s = 10. Die Grundgesamtheit ist annähernd normalverteilt. Bestimme die Fehlermarge E eines 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
n = 15x̄ = 111,5s = 1095%t(14) = 2,145
E =
6.KonfidenzintervalleSchwer
Eine Vorstudie legt nahe, dass etwa 0,4 der Produkte fehlerhaft sind. Wie viele Produkte n müssen geprüft werden, damit ein 95-%-Konfidenzintervall für den Anteil eine Fehlermarge von höchstens 0,01 hat?
p ≈ 0,4E = 0,0195%
n =
7.Hypothesentests & KonfidenzintervalleMittel
Zwei Fertigungslinien stellen dasselbe Teil her. Linie 1: Eine Stichprobe von 40 Teilen hat die mittlere Länge 44 mm, und die bekannte Standardabweichung der Linie ist 18 mm. Linie 2: Eine Stichprobe von 50 Teilen hat den Mittelwert 53,2 mm, bekannte Standardabweichung 20 mm. Bestimme die Teststatistik z für H₀: μ₁ = μ₂, mit der Differenz x̄₁ − x̄₂ (Linie 1 minus Linie 2).
Eine Stichprobe von 100 Messungen hat den Mittelwert 99,2. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 10. Bestimme die obere Grenze U des 95-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
x̄ = 99,2σ = 10n = 10095%
U =
3Lösungen
1.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: LR+ = 25
Likelihood-Ratios und Risikomaße: LR+ = Sensitivität/(1 − Spezifität), LR− = (1 − Sensitivität)/Spezifität. In einer Studie sind EER und CER die Ereignisraten mit und ohne Behandlung: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER und NNT = 1/ARR, aufgerundet. In einer Fall-Kontroll-Studie kann nur die Odds Ratio OR = ad/(bc) verwendet werden. Eine Inzidenzrate = neue Fälle/Personenzeit.
Positive Likelihood-Ratio
LR+ = 0,75/(1 − 0,97) = 25
Antwort
LR+ = 25
2.Statistik der evidenzbasierten Praxis
Antwort: FN = 588
Prädiktive Werte hängen von der Prävalenz ab: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) und NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Mit Likelihood-Ratios: Vortest-Odds = p/(1 − p), Nachtest-Odds = Vortest-Odds × LR, Wahrscheinlichkeit = Odds/(1 + Odds). Bei einer Population von N gilt: richtig Positive = N·p·Se und falsch Positive = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), aufgerundet.
Mit und ohne Erkrankung
10 000·0,21 = 2100
10 000 − 2100 = 7900
Falsch Negative
FN = 2100·0,28 = 588
Antwort
FN = 588
3.Beschreibende Statistik
Antwort: s = 16,92
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Beschreibende Statistik: Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch n; der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten (bei geradem n der Mittelwert der beiden mittleren Werte). Die Stichproben-Standardabweichung ist s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Ein z-Wert z = (x − μ)/σ gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt.
Standardisieren
z = (462,5 − 500)/75 = −0,5
Antwort
z = −0,5
5.Konfidenzintervalle
Antwort: E = 5,538
Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.
Kritischer Wert
df = n − 1 = 14, t = 2,145
Fehlermarge
E = 2,145·10/√15 = 5,538
Antwort
E = 5,538
6.Konfidenzintervalle
Antwort: n = 9220
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Nach n auflösen
n = 1,96²·0,4·0,6/0,01² = 9220
Aufrunden
n = 9220
Antwort
n = 9220
7.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: z = −2,293
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Standardfehler der Differenz
SE = √(18²/40 + 20²/50) = √16,1 = 4,012
Teststatistik
z = (44 − 53,2)/4,012 = −2,293
Antwort
z = −2,293
|z| > 1,96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.
8.Hypothesentests & Konfidenzintervalle
Antwort: U = 101,2
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).